[论文解读] Hautus--Yamamoto criteria for approximate and exact controllability of linear difference delay equations

Yacine Chitour, Sébastien Fueyo+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2022

Stability and Controllability of Differential Equations被引用 1

一句话总结

本文利用山本的实现理论，建立了有限维线性差分时滞方程在频域下的近似与精确能控性的必要与充分条件。提出了拉普拉斯域中的Hautus–Yamamoto准则，推导出最小能控时间的显式上界为 $ d \max\{\Lambda_1,\dots,\Lambda_N\} $，并通过复平面上圆周上可数稠密集中无零点来刻画 $ L^q $ 与 $ L^1 $ 设置下的能控性。

ABSTRACT

The paper deals with the controllability of finite-dimensional linear difference delay equations, i.e., dynamics for which the state at a given time $t$ is obtained as a linear combination of the control evaluated at time $t$ and of the state evaluated at finitely many previous instants of time $t-Λ_1,\dots,t-Λ_N$. Based on the realization theory developed by Y.Yamamoto for general infinite-dimensional dynamical systems, we obtain necessary and sufficient conditions, expressed in the frequency domain, for the approximate controllability in finite time in $L^q$ spaces, $q \in [1, +\infty)$. We also provide a necessary condition for $L^1$ exact controllability, which can be seen as the closure of the $L^1$ approximate controllability criterion. Furthermore, we provide an explicit upper bound on the minimal times of approximate and exact controllability, given by $d\max\{Λ_1,\dots,Λ_N\}$, where $d$ is the dimension of the state space.

研究动机与目标

• 本文旨在建立有限时间下线性差分时滞方程近似与精确能控性的必要与充分条件。
• 旨在将现有能控性准则从分布时滞或单时滞情形推广至具有多个、可能具有有理独立时滞的系统。
• 弥补了文献中关于差分时滞系统能控性研究的空白，尤其在 $ L^q $ 与 $ L^1 $ 控制空间中。
• 提供最小能控时间的显式上界，其依赖于系统的维数与时滞结构。
• 目标还包括通过复平面上的全纯矩阵函数与频域中的Bézout型恒等式，推导能控性的几何与代数刻画。

提出的方法

• 分析基于山本的无限维实现理论，该理论通过矩阵值分布 $ (P, Q) $ 建模系统，从而实现能控性的频域表述。
• 本文采用拉普拉斯变换将时域差分时滞方程转化为全纯矩阵函数 $ H(p) $，其定义为 $ H(p) = I - \sum_{j=1}^N e^{-p\Lambda_j} A_j $，用于表征系统的输入-输出行为。
• 通过频域中的秩条件 $ \text{rank}[H(p), B] < d $ 对某些 $ p \in \mathbb{C} $ 分析能控性，该条件可识别频域中的非能控性。
• 对于 $ L^q $ 近似能控性，系统能控当且仅当 $ 0 \notin \bigcup_{j=1}^k S_j $，其中 $ S_j $ 是由某些矩阵方程的根导出的圆周 $ C_j $ 上的可数稠密集。
• 对于 $ L^1 $ 精确能控性，必要条件为 $ 0 \in \bigcup_{j=1}^k C_j $，其中 $ C_j $ 是由相关矩阵组合的特征值定义的圆周。
• 该方法利用Bézout恒等式与全纯函数理论，将能控性问题转化为复平面上矩阵方程的可解性问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 线性差分时滞方程在有限时间内 $ L^q $ 近似能控性的必要与充分条件是什么？
• RQ2 如何确定具有多个时滞的系统中近似或精确能控性所需的最短时间？
• RQ3 时滞之间的有理独立性在决定能控性特性中起什么作用？
• RQ4 能否通过复平面上的轨迹对 $ d=3 $，$ N=2 $，$ m=1 $ 系统的能控性进行几何刻画？
• RQ5 $ L^1 $ 精确能控性与 $ L^1 $ 近似能控性准则的闭包之间的确切关系是什么？

主要发现

• 当且仅当不存在 $ p \in \mathbb{C} $ 使得 $ \text{rank}[H(p), B] < d $ 时，系统在时间 $ T $ 内为 $ L^q $ 近似能控，其中 $ H(p) = I - \sum_{j=1}^N e^{-p\Lambda_j} A_j $。
• 当 $ N=2 $，$ d=3 $，$ m=1 $ 时，非能控性频率的集合位于至多四个可数稠密集 $ S_j $ 的并集中，每个 $ S_j $ 在复平面上的圆周 $ C_j $ 上稠密。
• 若 $ 0 \in \bigcup_{j=1}^k C_j $，其中 $ C_j $ 是由涉及 $ A_1 $、$ A_2 $ 与时滞参数的矩阵组合的特征值导出的圆周，则系统不是 $ L^1 $ 精确能控。
• 近似或精确能控性的最小时间的上界为 $ d \max\{\Lambda_1, \dots, \Lambda_N\} $，在特定情况下可取等。
• 当 $ N=2 $，$ d=3 $，$ m=1 $ 且 $ r_0 = 3 $ 时，不同圆周 $ C_j $ 的数量至多为四个，对应于由矩阵方程导出的两条圆锥曲线的交点数。
• 结果推广了此前针对 $ N=d=2 $，$ m=1 $ 的发现，并通过使用全纯矩阵函数与复平面上的几何轨迹，将其扩展至更高维与多时滞情形。