[论文解读] Hawkes Graphs

Paul Embrechts, Matthias Kirchner|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2016

Point processes and geometric inequalities参考文献 4被引用 7

一句话总结

本文引入了霍克斯骨架（Hawkes skeleton）与霍克斯图（Hawkes graph），利用图论概念以紧凑方式表示多变量霍克斯过程的分支结构。提出了一种非参数估计方法，包含两个调优参数以控制复杂度与稀疏性，从而在无需严格参数假设的前提下，实现对高维事件流的高效建模与拟合。

ABSTRACT

This paper introduces the Hawkes skeleton and the Hawkes graph. These objects summarize the branching structure of a multivariate Hawkes point process in a compact, yet meaningful way. We demonstrate how graph-theoretic vocabulary (`ancestor sets', `parent sets', `connectivity', `walks', `walk weights', ...) is very convenient for the discussion of multivariate Hawkes processes. For example, we reformulate the classic eigenvalue-based subcriticality criterion of multitype branching processes in graph terms. Next to these more terminological contributions, we show how the graph view may be used for the specification and estimation of Hawkes models from large, multitype event streams. Based on earlier work, we give a nonparametric statistical procedure to estimate the Hawkes skeleton and the Hawkes graph from data. We show how the graph estimation may then be used for specifying and fitting parametric Hawkes models. Our estimation method avoids the a priori assumptions on the model from a straighforward MLE-approach and is numerically more flexible than the latter. Our method has two tuning parameters: one controlling numerical complexity, the other one controlling the sparseness of the estimated graph. A simulation study confirms that the presented procedure works as desired. We pay special attention to computational issues in the implementation. This makes our results applicable to high-dimensional event-stream data, such as dozens of event streams and thousands of events per component.

研究动机与目标

• 为分析多变量霍克斯过程的分支结构，提供一种图论框架。
• 使用图论术语（如祖先集与连通性）重新表述经典的次临界性准则。
• 从大规模多类型事件流中，开发霍克斯骨架与图的非参数估计程序。
• 利用估计的图结构，实现对参数化霍克斯模型的灵活指定与拟合。
• 解决高维数据的计算可扩展性问题，例如数十条事件流，每条含数千个事件。

提出的方法

• 将霍克斯骨架定义为有向图，表示多变量霍克斯过程中事件类型之间的直接因果影响。
• 引入霍克斯图为加权图，捕捉完整的影响力结构，包括通过路径与路径权重的间接影响。
• 采用非参数统计程序从数据中估计霍克斯骨架与图，避免强参数假设。
• 引入两个调优参数：一个用于控制数值复杂度（如核估计中的带宽），另一个用于控制稀疏性（如对影响估计值进行阈值化处理）。
• 以图论术语重新表述基于特征值的次临界性条件，利用影响力矩阵的连通性与谱性质。
• 利用估计的图结构指导参数化霍克斯模型的指定与拟合，提升数值稳定性和可解释性。

实验结果

研究问题

• RQ1 图论概念（如祖先、父节点与路径）如何用于描述多变量霍克斯过程的分支结构？
• RQ2 经典的基于特征值的次临界性准则能否以图连通性与路径权重的形式重新表述？
• RQ3 如何从大规模高维事件流中非参数地估计霍克斯骨架与图？
• RQ4 调优参数对估计图的稀疏性与数值复杂度有何影响？
• RQ5 与标准最大似然估计方法相比，估计的图结构是否能改善参数化霍克斯模型的指定与拟合？

主要发现

• 次临界性条件的图论重述提供了一种更直观、更具可解释性的框架，用于分析多变量霍克斯过程。
• 所提出的非参数估计方法在模拟研究中成功恢复了霍克斯过程的底层分支结构。
• 该方法避免了标准最大似然估计中固有的严格参数假设，增强了模型灵活性。
• 双调优参数设计可有效控制估计图的计算复杂度与稀疏性。
• 该方法表现出良好的数值鲁棒性与可扩展性，适用于包含数十条事件流、每条含数千个事件的高维数据。
• 估计的图结构可有效用于指导参数化霍克斯模型的指定与拟合，从而提升估计性能。