[论文解读] Heat Conduction in Low Dimensions: From Fermi-Pasta-Ulam Chains to Single-Walled Nanotubes

Peter Grassberger, Lei Yang|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2002

Graphene research and applications参考文献 1被引用 6

一句话总结

本研究通过Fermi-Pasta-Ulam (FPU) $\beta$ 模型，研究了低维非谐晶格中的热传导，模拟了具有周期性横向边界的矩形系统，以模拟单壁碳纳米管。结果表明，热导率 $\kappa$ 在一维和二维中均随 $L^{\alpha}$ 呈幂律发散，但二维中的发散为幂律形式（$\alpha \approx 0.22 \pm 0.03$），而非对数发散，且一维到二维的过渡发生在随系统尺寸发散的纵横比 $r^* \sim L^{0.65}$ 处，这意味着即使在长纳米管中，也可能无法完全表现出一维行为。

ABSTRACT

Heat conduction in 1-dimensional anharmonic systems is anomalous in the sense that the conductivity κscales with a positive power of the system size, κ~ L^α. In two dimensions, previous simulations and theoretical arguments gave a logarithmic divergence. For rectangular systems of size L_\| x L_\perp there should be a cross-over from the 2-d to the 1-d behaviour as the aspect ratio r = L_\| / L_\perp increases from r=1 to r >> 1. When taking periodic boundary conditions in the transverse direction, this should be of direct relevance for the heat conduction in single-walled carbon nanotubes. In particular, one expects that k nanotubes of diameter R should conduct heat better than a single nanotube of the same length and of radius kR. We study this cross-over numerically by simulating the Fermi-Pasta-Ulam model. Apart from giving a precise estimate of the exponent α, our most intriguing results are that the divergence does not seem to be logarithmic in d=2 but also power-like, and that the cross-over does not happen at a fixed aspect ratio. Instead, it happens at r=r^* with r^* -> \infty for L -> \infty.

研究动机与目标

• 研究具有周期性横向边界的二维非谐晶格中热导率 $\kappa$ 的尺寸依赖性。
• 确定在二维系统中热导率是否随系统尺寸对数发散或以幂律形式发散。
• 研究在矩形系统中，随着纵横比 $r = L_\parallel / L_\perp$ 变化，一维到二维热传导行为的过渡。
• 评估这些发现对单壁碳纳米管中热输运的相关性。
• 评估更窄的纳米管是否比具有相同横截面积的单一更宽纳米管具有更高的热导率。

提出的方法

• 在具有横向方向周期性边界条件（$j$-方向）的正方形晶格上，对FPU-$\beta$ 模型进行数值模拟。
• 在两端（$i=1$ 和 $i=N_x$）使用Nosé-Hoover热浴，温度分别为 $T_h=10$、$T_c=6$，响应时间 $\Theta=1$，以维持温度梯度。
• 采用步长为 $dt=0.05$ 的跃迁积分器求解运动方程，以将积分误差最小化至统计涨落水平。
• 通过 $\kappa = J / \nabla T$ 定义热导率，其中 $J$ 由能量通量计算，$\nabla T$ 由边界温度差确定。
• 使用假设 $\kappa = N_x^{\alpha'} \phi(N_y / N_x^\beta)$ 进行标度分析，以提取渐近行为和过渡动力学。
• 比较全局和中心区域导热系数估计量（$\kappa_{\rm global}$、$\kappa_{\rm center}$），以评估有限尺寸效应和积分误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二维FPU晶格中，热导率是否随系统尺寸对数发散或以幂律形式发散？
• RQ2 在何种纵横比 $r = L_\parallel / L_\perp$ 下，热传导行为从一维过渡到二维？
• RQ3 随着系统尺寸增大，过渡纵横比 $r^*$ 是否保持有限，还是趋于发散？
• RQ4 更窄的纳米管热导率是否高于具有相同总横截面积的单一更宽纳米管？
• RQ5 二维系统中热导率指数 $\alpha$ 的渐近值是多少？

主要发现

• 在二维FPU晶格中，热导率随系统尺寸呈幂律标度，指数为 $\alpha(2\text{d}) = 0.22 \pm 0.03$，与早期预测的对数发散相反。
• 从一维到二维行为的过渡发生在纵横比 $r^* \sim N_x^{0.65}$ 处，该值随系统尺寸发散，意味着有限系统中永远无法完全达到一维标度行为。
• 对于一维链，热导率指数估计为 $\alpha(1\text{d}) = 0.37 \pm 0.01$，与先前研究一致，但略低于早期估计值。
• 两个半径为 $R$ 的窄纳米管的热导率高于相同长度的单个半径为 $2R$ 的宽纳米管，这是由于横向声子模式减少，限制了纵向声子输运。
• 在固定纵横比下，热导率表现出非单调行为：$\kappa$ 初期随 $N_x$ 减小，随后增加，表明在达到渐近标度之前存在一个瞬态阶段。
• 即使对于较大的 $N_x$，观测到的标度也偏离简单幂律，表明渐近指数小于通过标准最小二乘法拟合有限尺寸数据所得的值。