[论文解读] Heat flow on the moduli space of flat connections and Yang-Mills theory

Rémi Janner|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 3

一句话总结

本文建立了在平坦联络模空间上的环路空间的有界莫尔斯同调与在具有部分缩放度量的3-流形上杨-米尔斯联络的有界莫尔斯同调之间的同构关系。通过环路空间上的热流和杨-米尔斯 $L^2$-流，作者证明了当 $\varepsilon \to 0$ 时，模空间上的扰动测地线对应于扰动杨-米尔斯联络，从而通过绝热极限将无穷维辛几何与杨-米尔斯理论联系起来。

ABSTRACT

It is known that there is a bijection between the perturbed closed geodesics, below a given energy level, on the moduli space of flat connections M and families of perturbed Yang-Mills connections depending on a small parameter. In this paper we study the heat flow on the loop space on M and the Yang-Mills L^2-flows for a 3-manifold N with partial rescaled metrics. Our main result is that the bounded Morse homology of the loop space on M is isomorphic to the bounded Morse homologies of the connections space of N.

研究动机与目标

• 建立在具有缩放度量的3-流形上，平坦联络模空间上的扰动测地线与扰动杨-米尔斯联络之间的对应关系。
• 在杨-米尔斯流和环路空间上的热流背景下，分析 $\varepsilon \to 0$ 时的绝热极限。
• 证明环路空间模空间的有界莫尔斯同调与杨-米尔斯联络空间的有界莫尔斯同调之间的同构关系。
• 为在部分缩放下杨-米尔斯流推导一致估计量和规范固定技术。
• 将阿蒂亚-博特定框架推广至扰动泛函，并通过非线性偏微分方程分析临界点。

提出的方法

• 在曲面 $\Sigma$ 上 $\mathrm{SO}(3)$-平坦联络的模空间 $\mathcal{M}^{g}(P)$ 的环路空间上使用热流。
• 在 $N = \Sigma \times S^1$ 上分析具有度量 $\varepsilon^2 g_\Sigma \oplus g_{S^1}$ 的杨-米尔斯 $L^2$-流，当 $\varepsilon \to 0$ 时。
• 应用扰动能量泛函 $E^H$ 和 $\mathcal{YM}^{\varepsilon,H}$，以关联两个空间上的临界点。
• 采用相对库仑规范固定法，控制规范群的非紧性并确保收敛性。
• 利用 $\Sigma$ 上的 $L^p$-范数和索伯列夫型不等式，推导杨-米尔斯流算子的线性和二次估计。
• 构造两个流之间的映射 $\mathcal{R}^{\varepsilon,b}$，并证明其满射性与指数收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有缩放度量的3-流形上，平坦联络模空间上的扰动测地线与扰动杨-米尔斯联络之间有何关系？
• RQ2 在绝热极限下，当 $\varepsilon \to 0$ 时，杨-米尔斯 $L^2$-流的渐近行为如何？
• RQ3 能否使用有界莫尔斯同调来比较 $\mathcal{M}^{g}(P)$ 上的环路空间与 $\Sigma \times S^1$ 上的杨-米尔斯联络空间？
• RQ4 控制非线性流方程需要哪些一致估计量和规范固定技术？
• RQ5 这两个空间的有界莫尔斯同调之间是否存在一个典范同构？

主要发现

• 环路空间模空间 $\mathcal{M}^{g}(P)$ 的有界莫尔斯同调与 $\Sigma \times S^1$ 上杨-米尔斯联络空间的有界莫尔斯同调同构。
• 当 $\varepsilon \to 0$ 时，$\mathcal{M}^{g}(P)$ 上的扰动测地线与 $\Sigma \times S^1$ 上的扰动杨-米尔斯联络之间存在双射对应。
• 在相对库仑规范下，杨-米尔斯流的指数收敛性得以确立，确保了临界点的稳定性。
• 推导出杨-米尔斯流算子的一致 $L^p$-估计，其常数与 $\varepsilon$ 无关。
• $\mathcal{R}^{\varepsilon,b}$ 映射在两个流之间被证明是满射，从而支持了同构的构造。
• 证明依赖于在曲面 $\Sigma$ 上一致的 $L^p$-索伯列夫不等式和椭圆估计，且在 $\varepsilon$ 上一致成立。