[论文解读] Heat kernel asymptotics, local index theorem and trace integrals for CR manifolds with $S^1$ action

Jih-Hsin Cheng, Chin-Yu Hsiao+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2015

Geometry and complex manifolds被引用 3

一句话总结

本文建立了具有 $S^1$ 作用的 CR 流形上 Kohn $\bar\boxempty_b$ 算子的热核渐近展开，通过到低维子流形的测地距离函数揭示了其来自低维子流形的新型贡献。通过 Getzler 的尺度变换技术证明了这些子流形贡献的抵消，从而得到一个关于切向特征类的局部 CR 指标定理，并推导出涉及 $S^1$-分层几何不变量的显式迹积分展开式。

ABSTRACT

Among those transversally elliptic operators initiated by Atiyah and Singer, Kohn's $\Box_b$ operator on CR manifolds with $S^1$ action is a natural one of geometric significance for complex analysts. Our first main result establishes an asymptotic expansion for the heat kernel of such an operator with values in its Fourier components, which involves an unprecedented contribution in terms of a distance function from lower dimensional strata of the $S^1$-action. Our second main result computes a local index density, in terms of \emph{tangential} characteristic forms, on such manifolds including \emph{Sasakian manifolds} of interest in String Theory, by showing that certain non-trivial contributions from strata in the heat kernel expansion will eventually cancel out by applying Getzler's rescaling technique to off-diagonal estimates. This leads to a local result which can be thought of as a type of local index theorem on these CR manifolds. As applications of our CR index theorem we can prove a CR version of Grauert-Riemenschneider criterion, and produce many CR functions on a weakly pseudoconvex CR manifold with transversal $S^1$ action and many CR sections on some class of CR manifolds, answering (on this class of manifolds) some long-standing questions in several complex variables and CR geometry. We give examples of these CR manifolds, some of which arise from Brieskorn manifolds. Moreover in some cases, without use of equivariant cohomology method nor keeping contributions arising from lower dimensional strata as done in previous works, we can reinterpret Kawasaki's Hirzebruch-Riemann-Roch formula for a complex orbifold with an orbifold holomorphic line bundle, as an index theorem obtained by a single integral over a smooth CR manifold which is essentially the circle bundle of this line bundle.

研究动机与目标

• 建立具有 $S^1$ 作用的 CR 流形上 Kohn $\.bar\boxempty_b$ 算子的热核渐近展开，通过到低维子流形的距离函数纳入其来自低维子流形的贡献。
• 通过证明非平凡子流形贡献在 Getzler 尺度变换技术下的抵消，推导出具有局部自由 $S^1$ 作用的 CR 流形的局部指标定理。
• 计算热核的显式迹积分，利用体积和权因子等几何不变量识别 $S^1$-分层带来的修正项。
• 将 CR 指标定理应用于证明弱强伪凸 CR 流形上具有 $S^1$ 作用的 CR 函数存在性的 CR 版 Grauert-Riemenschneider 准则，并构造出大量 CR 函数。
• 将 Kawasaki 的轨道线丛的 Hirzebruch-Riemann-Roch 公式重新解释为光滑 CR 圆丛上的指标定理，避免使用等变上同调。

提出的方法

• 在 BRT 平坦化局部坐标系中推导修改后的 Kohn 拉普拉斯算子的热核渐近展开，通过到低维子流形的距离函数纳入 $S^1$-分层的奇异贡献。
• 应用 Getzler 的尺度变换技术对热核的非对角线估计进行处理，以抵消非平凡子流形的贡献，从而得到以切向特征形式表示的局部指标公式。
• 通过在 $S^1$-轨道上进行角向积分计算热核的超迹，将流形分解为不同余维数的子流形，并分别计算各子流形的局部贡献。
• 在全流形上使用拼接程序，结合局部角向积分，以处理一般 $S^1$-分层类型，包括非单连通的分量。
• 引入权因子 $D_{\bullet,m}$、体积积分 $S^{+}_{\bullet,s}$ 和修正项 $Z_{[\tau],s}$，以子流形的几何数据表达迹积分渐近展开。
• 依赖于修改后的 $\text{Spin}^c$ Kohn 拉普拉斯算子及其热核的渐近展开推导主要结果，关键估计基于微局部分析与黎曼几何。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有 $S^1$ 作用的 CR 流形上 Kohn $\.bar\boxempty_b$ 算子的热核在渐近行为上如何表现，特别是在 $S^1$-作用的低维子流形附近？
• RQ2 能否通过几何尺度变换技术抵消热核展开中来自子流形的非平凡贡献，从而得到一个局部指标公式？
• RQ3 热核的迹积分的确切结构为何？不同 $S^1$-作用子流形的贡献如何在渐近展开中体现？
• RQ4 CR 指标定理能否用于证明弱强伪凸 CR 流形上存在大量 CR 函数的 CR 版 Grauert-Riemenschneider 准则？
• RQ5 Kawasaki 的轨道线丛的 Hirzebruch-Riemann-Roch 公式能否通过圆丛构造重新解释为光滑 CR 流形上的指标定理？

主要发现

• Kohn $\.bar\boxempty_b$ 算子的热核渐近展开中，包含了来自 $S^1$-作用低维子流形距离函数的新型贡献，这在标准热核展开中并不存在。
• 通过 Getzler 的尺度变换，非平凡子流形贡献在超迹中相互抵消，从而得到以切向陈特征类和 Todd 类形式表示的局部指标定理。
• 热核的迹积分表现出具有半整数幂 $t$ 的渐近展开，其中 $t^{-n + e/2}$ 的系数与 $Z_{[\tau],s}$ 成正比，$Z_{[\tau],s}$ 是余维数为 $e$ 的子流形体积之和。
• 对于主子流形，首项为 $D_{1,m}(2\tau)^{-1}(2\tau t)^{-n}\text{vol}(X)$，低维子流形的修正项出现在 $t^{-n + e/2}$ 阶。
• 当 $p_\bullet$ 整除 $m$ 时，权因子 $D_{\bullet,m}$ 和 $D_{\bullet,m,[\tau]}$ 为正，确保了迹积分中子流形贡献的正性。
• 结果使得 Kawasaki 的轨道线丛的 Hirzebruch-Riemann-Roch 公式可被重新解释为光滑 CR 流形（即圆丛）上的指标定理，而无需使用等变上同调。