[论文解读] Heat kernel estimates and the relative compactness of perturbations by potentials

Jochen Brüning, Batu Güneysu|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文通过使用控制函数的热核估计，建立了在势场扰动下Schrödinger型算子相对紧致性的抽象条件。证明了若热核对角满足 $ p(t,x,x) \leq F_1(x)F_2(t) $，则势场扰动是相对紧致的；该结果普遍适用于黎曼流形和加权图，通过体积和注入半径等几何不变量，给出了紧致性的精确准则。

ABSTRACT

We consider a self-adjoint non-negative operator $H$ in a Hilbert space $\mathsf{L}^2(X,{ m d}μ)$. We assume that the semigroup $(\mathrm{e}^{-t H})_{t>0}$ is defined by an integral kernel, $p$, which allows an estimate of the form $p(t,x,x)\le F_1(x)F_2(t)$ for all $(x,t)\in X imes\mathbb{R_+}$; we refer to $F_1$ as the \emph{control function}. We show that such an estimate leads to rather satisfying abstract results on relative compactness of perturbations of $H$ by potentials. It came as a surprise to us, however, that such an estimate holds for the Laplace-Beltrami operator on \emph{any} Riemannian manifold. In particular, using a domination principle, one can deduce from the latter fact a very general result on the relative compactness of perturbations by potentials of the Bochner Laplacian associated with a Hermitian bundle $(E, h^E, abla^E)$ over an arbitrary Riemannian manifold $(M,g)$; in fact, only quantities of order zero in $g$ enter in the estimates. We extend this result to weighted Riemannian manifolds, where under lower curvature bounds on the $α$-Bakry-Émery tensor one can construct quite explicit control functions, and to any weighted graph, where the control function is expressed in terms of the vertex weight function.

研究动机与目标

• 在抽象测度空间上，为Schrödinger型算子中势场扰动的相对紧致性建立一般性判据。
• 在任意黎曼流形上，为Laplace-Beltrami算子建立具有控制函数 $ F_1(x)F_2(t) $ 的热核估计。
• 将这些结果推广至黎曼流形上具有单位联络的Hermitian向量丛上的协变Schrödinger算子，以及加权图。
• 证明 $ V(H+1)^{-1} $ 的紧致性可由 $ W_1 \in L^2 $ 的可积性条件和 $ W_2 $ 在无穷远处的衰减性推出，利用控制与热核控制。

提出的方法

• 利用抛物 $ L^2 $-平均值不等式，在任意黎曼流形上推导出通用的热核估计 $ p(t,x,x) \leq C \cdot \min(r_{\text{Eucl}}(x,2),1)^{-m}(t^{-m/2} + 1) $，其中 $ C $ 仅依赖于维数 $ m $。
• 对于具有 $ \mathrm{Ric} \geq 0 $ 的完备流形，利用Li-Yau估计证明 $ p(t,x,x) \leq C \cdot \mathrm{vol}(B(x,1))^{-1}(t^{-m/2} + 1) $，其中 $ C $ 仅依赖于 $ m $。
• 引入控制函数 $ F_1(x)F_2(t) $，将相对紧致性问题转化为 $ V $ 对 $ F_1 $ 和 $ F_2 $ 的可积性，从而实现在测度空间上的抽象分析。
• 应用控制原理，将标量情形的结果推广至具有单位联络的Hermitian丛上的协变Schrödinger算子。
• 在加权图上建立离散热核界 $ p_{b,\varrho}(t,x,y) \leq 1/\varrho(y) $，该结果在无曲率假设下依然成立。
• 利用推论2.17证明：当对所有 $ c>0 $ 有 $ \sum_x |W_1(x)|^2 \varrho(x) + \sum_{|W_2|>c} (1+\varrho(x)) < \infty $ 时，有 $ \hat{W}(H^\Phi_{b,\varrho,V}+a)^{-1} \in \mathscr{L}^\infty $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种热核对角 $ p(t,x,x) $ 条件下，势场 $ V $ 相对于自伴非负算子 $ H $ 是相对紧致的？
• RQ2 是否能通过热核估计中的控制函数 $ F_1(x)F_2(t) $ 来刻画势场扰动的相对紧致性？
• RQ3 热核估计 $ p(t,x,x) \leq C \cdot \min(r_{\text{Eucl}}(x,2),1)^{-m}(t^{-m/2} + 1) $ 是否在任意黎曼流形上成立，无论其曲率或完备性如何？
• RQ4 能否将势场扰动的相对紧致性结果推广至黎曼流形上Hermitian丛上的协变Schrödinger算子？
• RQ5 在加权图上，对算子 $ \hat{W}(H^\Phi_{b,\varrho,V}+a)^{-1} $ 有界性的充分条件是什么？

主要发现

• 在任意黎曼流形上，热核对角满足 $ p(t,x,x) \leq C \cdot \min(r_{\text{Eucl}}(x,2),1)^{-m}(t^{-m/2} + 1) $，其中 $ C $ 仅依赖于维数 $ m $。
• 对于具有 $ \mathrm{Ric} \geq 0 $ 的完备流形，估计式 $ p(t,x,x) \leq C \cdot \mathrm{vol}(B(x,1))^{-1}(t^{-m/2} + 1) $ 成立，其中 $ C $ 仅依赖于 $ m $。
• 在具有非负 $ \alpha $-Bakry-Émery张量的加权黎曼流形上，估计式变为 $ p(t,x,x) \leq C \cdot \mathrm{vol}_\alpha(B(x,1))^{-1}(t^{-(m/2+\alpha/2)} + 1) $。
• 在任意加权图上，热核满足对所有 $ t \geq 0 $、$ x,y \in X $ 有 $ p_{b,\varrho}(t,x,y) \leq 1/\varrho(y) $。
• 当 $ W = W_1 + W_2 $，且 $ W_1 \in L^2 $，$ W_2 $ 满足对所有 $ c>0 $ 有 $ \sum_{|W_2|>c} (1+\varrho(x)) < \infty $ 时，算子 $ \hat{W}(H^\Phi_{b,\varrho,V}+a)^{-1} $ 在 $ \Gamma_{\mathsf{L}^2}(X,E;{\rm d}\mu_\varrho) $ 上有界。
• 由控制函数估计 $ p(t,x,x) \leq F_1(x)F_2(t) $ 可推出 $ V(H+1)^{-1} $ 的相对紧致性，该结果将已知结果推广至无曲率或体积增长假设的任意流形。