[论文解读] Heat Kernel for Simply-Connected Riemann Surfaces

T. Harri Jones, Dan Kučerovský|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2010

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文利用其万有覆叠，推导了欧氏平面、双曲平面和球面这三个单连通黎曼曲面上微分形式的热核。它建立了一种通过万有覆叠的提升群作用对任意黎曼曲面构造热核的方法，并将所有形式层次的热核表达为0-形式热核的函数。

ABSTRACT

From the uniformization theorem, we know that every Riemann surface has a simply-connected covering space. Moreover, there are only three simply-connected Riemann surfaces: the sphere, the Euclidean plane, and the hyperbolic plane. In this paper, we collect the known heat kernels, or Green's functions, for these three surfaces, and we derive the differential forms heat kernels as well. Then we give a method for using the heat kernels on the universal cover to generate the heat kernel on the underlying surface.

研究动机与目标

• 系统推导欧氏平面、双曲平面和球面这三个单连通黎曼曲面上微分形式（0-、1-和2-形式）的热核。
• 建立一种利用万有覆叠及其覆叠群作用在任意黎曼曲面上构造热核的一般方法。
• 将所有形式层次的热核（1-和2-形式）表达为0-形式热核，从而简化不同形式与曲面之间的构造。
• 为三种模型曲面上的0-形式热核提供显式公式，作为高阶形式热核的基础组件。
• 证明曲面上热方程的解可提升为万有覆叠上的G-周期解，通过群不变性实现向底流形的投影。

提出的方法

• 利用一致化定理，将三个单连通黎曼曲面识别为所有黎曼曲面的万有覆叠。
• 推导每个模型曲面上0-形式（函数）的热核：欧氏平面上为高斯核，双曲平面上为包含勒让德函数的积分表达式，球面上为球谐函数级数。
• 通过作用于0-形式核的微分算子构造1-形式和2-形式热核：$ K_1 = (I + *_{\bf{x}}*_{\bf{y}}) \int_t^\infty d_{\bf{x}}d_{\bf{y}}K_0(\cdot,\cdot,\tau)d\tau $，以及 $ K_2 = *_{\bf{x}}*_{\bf{y}}K_0 $。
• 应用G-周期函数与等距不变性的理论，证明万有覆叠上G-不变的初始数据产生G-不变的解。
• 使用投影定理：万有覆叠上的G-周期解通过覆叠映射$\pi$唯一下降为底流形上的解。
• 将一般黎曼曲面$M$上的热核构造为 $ K_M({\bf{x}},{\bf{y}},t) = \sum_{g \in G} K_U(\widetilde{{\bf{x}}}, g \cdot \widetilde{{\bf{y}}}, t) $，其中$G$为覆叠群，$U$为万有覆叠。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在欧氏平面、双曲平面和球面这三个单连通黎曼曲面上显式构造微分形式的热核？
• RQ2 0-形式热核与这些曲面上1-和2-形式热核之间存在何种关系？
• RQ3 如何从万有覆叠及其覆叠群作用重建一般黎曼曲面上的热核？
• RQ4 何种条件可确保万有覆叠上热方程的解能下降为底流形上良定义的解？
• RQ5 等距不变性在群作用下保持热核G-周期性方面起何种作用？

主要发现

• 欧氏平面上0-形式热核为标准高斯核：$ K_0({\bf{x}},{\bf{y}},t) = \frac{1}{4\pi t} \exp\left(-\frac{d_{\mathbb{R}^2}^2({\bf{x}},{\bf{y}})}{4t}\right) $。
• 双曲平面上0-形式热核以包含关联合勒让德函数的积分为表达式：$ K_0 = \frac{1}{2\pi} \int_0^\infty P_{-1/2+i\rho}(\cosh d) \rho \exp\left(-\left(\frac{1}{4}+\rho^2\right)t\right) \tanh \pi\rho \, d\rho $。
• 球面上0-形式热核为球谐函数级数：$ K_0 = \frac{1}{4\pi} \sum_{n=0}^\infty (2n+1) \exp(-n(n+1)t) P_n(\cos d) $。
• 1-形式热核通过0-形式核导出：$ K_1({\bf{x}},{\bf{y}},t) = (I + *_{\bf{x}}*_{\bf{y}}) \int_t^\infty d_{\bf{x}}d_{\bf{y}}K_0(\cdot,\cdot,\tau)\,d\tau $。
• 2-形式热核由 $ K_2({\bf{x}},{\bf{y}},t) = *_{\bf{x}}*_{\bf{y}}K_0({\bf{x}},{\bf{y}},t) $ 给出，显示出与0-形式核的对偶性。
• 任意黎曼曲面$M$上的热核通过在提升群作用下对万有覆叠核求和得到：$ K_M({\bf{x}},{\bf{y}},t) = \sum_{g \in G} K_U(\widetilde{{\bf{x}}}, g \cdot \widetilde{{\bf{y}}}, t) $。