[论文解读] Heat kernels and the index theorems on even and odd dimensional manifolds

Weiping Zhang|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于热核的证明方法，用于证明奇维流形带边界的Toeplitz算子的指标定理，将Atiyah-Patodi-Singer指标定理推广至奇维情形。该研究通过谱方法与边界附近的热核渐近展开，建立了指标的公式，其表达式包含边界算子的$η$-不变量、单位联络的陈特征类以及一个Maslov三重指标，实现了局部指标公式的构建。

ABSTRACT

In this talk, we review the heat kernel approach to the Atiyah-Singer index theorem for Dirac operators on closed manifolds, as well as the Atiyah-Patodi-Singer index theorem for Dirac operators on manifolds with boundary. We also discuss the odd dimensional counterparts of the above results. In particular, we describe a joint result with Xianzhe Dai on an index theorem for Toeplitz operators on odd dimensional manifolds with boundary.

研究动机与目标

• 将Atiyah-Patodi-Singer指标定理推广至奇维流形带边界的情形。
• 发展一种基于热核的方法，用于计算此类流形上Toeplitz算子的指标。
• 建立一个包含几何不变量（如$η$-不变量与Maslov三重指标）的局部指标公式。
• 通过谱学与几何技术，将偶维指标理论的结果推广至奇维情形。

提出的方法

• 利用Mckean-Singer公式，将指标表示为狄拉克算子平方的热核的超迹。
• 应用边界附近的热核渐近展开，提取局部不变量，包括短时间展开中系数$a_0$的超迹。
• 引入一个由投影$P_{\partial M,\geq 0}$与$gP_{\partial M,\geq 0}g^{-1}$定义的混合边界条件下的边界椭圆问题。
• 通过谱 zeta 正则化方法计算边界算子$D_{P_{\partial M,\geq 0},gP_{\partial M,\geq 0}g^{-1}}$的约化$η$-不变量。
• 利用Calderón投影与Maslov三重指标，处理边界数据中的拓扑障碍。
• 应用非交换几何（Connes-Moscovici）与$η$-不变量分解的结果，以处理非平凡的边界贡献。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用谱方法计算奇维流形带边界的Toeplitz算子的指标？
• RQ2 在奇维流形带边界的指标公式中，$η$-不变量起什么作用？
• RQ3 单位联络的陈特征类与Maslov三重指标在奇维情形的指标中如何贡献？
• RQ4 热核方法能否从偶维情形推广至奇维流形带边界，以获得局部指标定理？

主要发现

• Toeplitz算子$T_g$的指标由公式$-\int_M \widehat{A}(R^{TM}/2\pi)\,{\rm ch}(g,d) + \overline{\eta}(D_{P_{\partial M,\geq 0},gP_{\partial M,\geq 0}g^{-1}}) - \tau_\mu(P_{\partial M,\geq 0},gP_{\partial M,\geq 0}g^{-1},{\cal P}_M)$给出。
• 约化$η$-不变量$\overline{\eta}(D_{P_{\partial M,\geq 0},gP_{\partial M,\geq 0}g^{-1}})$在$s=0$处是良定义且全纯的，确保了指标公式的有限性与几何意义。
• 组合项$\int_M \widehat{A}(R^{TM}/2\pi)\,{\rm ch}(g,d) - \overline{\eta}(D_{P_{\partial M,\geq 0},gP_{\partial M,\geq 0}g^{-1}})$为整数，如引理5.3所示。
• Maslov三重指标$\tau_\mu$校正了Calderón投影与谱投影$P_{\partial M,\geq 0}$之间的不匹配，提供了拓扑校正项。
• 热核方法通过使用谱投影与正则化，成功处理了边界问题，克服了非平凡边界几何带来的困难。
• 该结果将Douglas-Wojciechowski定理推广至奇维情形，并给出了包含几何与拓扑不变量的局部指标公式。