[论文解读] Heavy flavor operator matrix elements at $O(a_s^3)$

Isabella Bierenbaum, J. Blümlein+1 more|ArXiv.org|Dec 12, 2008

Matrix Theory and Algorithms参考文献 4被引用 5

一句话总结

本论文首次独立计算了在强耦合常数 ($O(\alpha_s^3)$) 下的固定阶数重夸克算符矩阵元（OMEs），确认了 $N=2$ 至 $12$ 的 $ ext{NNLO}$ 异常维数中费米子部分的 $ ext{MS}$-反重整化结果。结果通过在维度正则化下使用 MATAD 软件包获得，并验证了先前的结果，其中包含了 $N=2$ 时 $A_{Q(q)q}^{ ext{PS}}$、$A_{qq,Q}^{ ext{NS},+}$ 和 $A_{gq,Q}$ 的显式解析表达式，包括涉及 $ ext{Li}_4(1/2)$、$ heta_3$ 和 $ heta_2^2$ 的非平面常数。

ABSTRACT

The heavy quark effects in deep--inelastic scattering in the asymptotic regime $Q^2 \gg m^2$ can be described by heavy flavor operator matrix elements. Complete analytic expressions for these objects are currently known to ${\sf NLO}$. We present first results for fixed moments at ${\sf NNLO}$. This involves a recalculation of fixed moments of the corresponding ${\sf NNLO}$ anomalous dimensions, which we thereby confirm.

研究动机与目标

• 在深反冲散射的渐近区域 $Q^2 \gg m^2$ 下，计算重夸克算符矩阵元（OMEs）在 $O(\alpha_s^3)$ 阶的固定阶数结果。
• 通过独立计算，确认 $N=2$ 至 $12$ 的 $ ext{NNLO}$ 异常维数中费米子贡献的正确性。
• 使用维度正则化和 $ ext{MS}$ 方案，为 $N=2$ 至 $12$ 的 $A_{Q(q)q}^{\text{PS}}$、$A_{qq,Q}^{\text{NS},+}$ 和 $A_{gq,Q}$ 提供解析表达式。
• 通过求和规则和极点结构检验，验证结果的一致性，包括 $N=2$ 的求和规则 $A_{qq,Q}^{\text{NS},+} + A_{Q(q)q}^{\text{PS}} + A_{gq,Q} = 0$。

提出的方法

• 计算采用 MATAD 软件包，在 $D=4+\varepsilon$ 维空间中计算三圈自能和顶点图，使用维度正则化。
• 费曼图在 't Hooft-Veltman 方案下计算，采用壳质量重整化与 $ ext{MS}$ 耦合常数重整化。
• OMEs 在 Mellin 空间中计算，聚焦于偶数阶 $N=2$ 至 $12$，所有奇点通过重整化与质量因子化消除。
• 通过检查 $N=2$ 求和规则以及重整化后不存在 $ heta_2$ 项（如 $D\to 4$ 计算所预期），验证结果的一致性。
• 计算包括涉及 $ heta_3$、$ heta_2^2$、$ ext{Li}_4(1/2)$ 和 $B_4 = -4\theta_2\ln^2 2 + \frac{2}{3}\ln^4 2 - \frac{13}{2}\theta_4 + 16\text{Li}_4(1/2)$ 的非平面常数，这些为真实重夸克效应。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $N=2$ 至 $12$，$O(\alpha_s^3)$ 阶重夸克算符矩阵元 $A_{Q(q)q}^{\text{PS}}$、$A_{qq,Q}^{\text{NS},+}$ 和 $A_{gq,Q}$ 的解析固定阶数值是什么？
• RQ2 当通过独立计算时，$ ext{NNLO}$ 阶费米子贡献的异常维数与参考文献 [9] 的结果相比如何？
• RQ3 $O(\alpha_s^3)$ 阶 OMEs 是否满足 $N=2$ 时的动量求和规则 $A_{qq,Q}^{\text{NS},+} + A_{Q(q)q}^{\text{PS}} + A_{gq,Q} = 0$？
• RQ4 非平面常数如 $ ext{Li}_4(1/2)$ 和 $B_4$ 在 $O(\alpha_s^3)$ 阶 OMEs 中起什么作用？它们是否在轻味夸克威尔逊系数中缺失？
• RQ5 在最终的重整化 OMEs 中，$ heta_2$ 相关项是否如 $D\to 4$ 计算所预期的那样完全消失？

主要发现

• 在 $N=2$ 时，$\text{PS}$ 类型 OME $A_{Q(q)q}^{(3),\text{PS}}$ 的常数项被显式计算为 $\left(\frac{2048}{81}\theta_3 - \frac{86480}{2187}\right)C_F T_F^2 n_f + \left(-\frac{3584}{81}\theta_3 + \frac{53144}{2187}\right)C_F T_F^2 + \left(\frac{64}{9}B_4 - \frac{128}{5}\theta_2^2 + \frac{1280}{27}\theta_3 + \frac{830}{2187}\right)C_F C_A T_F + \left(-\frac{128}{9}B_4 + \frac{128}{5}\theta_2^2 - \frac{9536}{81}\theta_3 + \frac{95638}{729}\right)C_F^2 T_F$，其中 $B_4$ 按公式 (8) 定义。
• $N=10$ 和 $N=12$ 时 $ ext{NNLO}$ 异常维数的固定阶数结果与参考文献 [9] 的结果完全一致，通过独立计算确认了 $ ext{NNLO}$ 异常维数中费米子部分的正确性。
• $N=2$ 求和规则 $A_{qq,Q}^{\text{NS},+} + A_{Q(q)q}^{\text{PS}} + A_{gq,Q} = 0$ 被计算出的 OMEs 所满足，提供了强有力的自洽性检验。
• 所有 $ heta_2$ 相关项在最终的重整化 OMEs 中均消失，与 $D\to 4$ 计算中的一般预期一致。
• $B_4$ 出现在所有计算出的 OMEs 中，且不出现在轻味夸克威尔逊系数中，确认其为真实的重夸克效应。
• 对于 $A_{Q(q)q}^{(3),\text{PS}}$、$A_{qq,Q}^{(3),\text{NS},+}$ 和 $A_{gq,Q}^{(3)}$ 的结果与一般重整化结构一致，包括 $ olimits(m^2/\mu^2)$ 的单极和双极项。