[论文解读] Heavy-traffic analysis of the maximum of an asymptotically stable random walk

Seva Shneer, Vitali Wachtel|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2009

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 12被引用 7

一句话总结

本文分析了当漂移参数 a 趋近于零时，渐近稳定随机游走最大值的重负载极限，对应于重负载条件下的排队系统。通过采用两种经典方法——Kingman 法与 Prokhorov 法，本文在无限方差设定下对 Kolmogorov 不等式进行推广，提供了初等证明，并确立了最大值的极限分布为稳定分布。

ABSTRACT

Abstract. For families of random walks {S (a) k} with ES(a) k = −ka < 0 we consider their maxima M (a) = supk≥0 S (a) k. We investigate the asymptotic behaviour of M (a) as a → 0 for asymptotically stable random walks. This problem appeared first in the 1960’s in the analysis of a single-server queue when the traffic load tends to 1 and since then is referred to as the heavy-traffic approximation problem. Kingman and Prokhorov suggested two different approaches which were later followed by many authors. We give two elementary proofs of our main result, using each of these approaches. It turns out that the main technical difficulties in both proofs are rather similar and may be resolved via a generalisation of the Kolmogorov inequality to the case of an infinite variance. Such a generalisation is also obtained in this note. Assume that {Xi} ∞ i=1 is a sequence of i.i.d. random variables with a zero expectation: EX1 = 0. Define a random walk S0 = 0, Sk = k∑ Xi for k ≥ 1. i=1 Along with the random walk {Sk}, for each a> 0 define a random walk {S (a)} via Now we can define

研究动机与目标

• 研究当漂移参数 a → 0 时，一族渐近稳定随机游走最大值的渐近行为。
• 基于 Kingman 与 Prokhorov 的方法，使用初等证明方法，解决排队理论中的重负载近似问题。
• 将经典 Kolmogorov 不等式推广至独立同分布随机变量零均值但无限二阶矩的情形。
• 在重负载条件下，确立随机游走最大值的极限分布，证明其收敛于稳定分布。

提出的方法

• 定义一族具有负漂移 −ka 且增量均值为零的随机游走 {S(a)k}，并考虑其上确界 M(a) = supk≥0 S(a)k。
• 采用 Kingman 方法，通过指数鞅技巧与拉普拉斯变换方法分析 M(a) 的尾部行为。
• 采用 Prokhorov 方法，利用弱收敛论证及有限维分布收敛于稳定过程的性质。
• 通过推导零均值且二阶矩无限的 i.i.d. 随机变量部分和的矩界，将 Kolmogorov 不等式推广至无限方差情形。
• 利用稳定分布的正则变体性质，刻画当 a → 0 时 M(a) 的极限行为。
• 在适当的归一化下，确立 M(a) 的分布收敛于稳定性指数 α ∈ (0,2) 的稳定分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 当漂移参数 a 趋近于零时，渐近稳定随机游走的最大值如何表现？
• RQ2 能否基于 Kingman 与 Prokhorov 方法的初等证明，严格建立排队系统中经典的重负载近似？
• RQ3 当增量的方差为无限时，Kolmogorov 不等式的适当推广形式是什么？
• RQ4 在重负载条件下，随机游走最大值的极限分布是什么？
• RQ5 两种方法面临的技术挑战如何比较？能否通过统一的不等式框架加以解决？

主要发现

• 在适当的归一化下，当 a → 0 时，随机游走 S(a)k 的最大值 M(a) 依分布收敛于稳定性指数 α ∈ (0,2) 的稳定分布。
• 将 Kolmogorov 不等式推广至无限方差情形，使得零均值且二阶矩无限的 i.i.d. 随机变量部分和具备一致的矩界。
• Kingman 与 Prokhorov 方法中的技术难点被证明在结构上相似，并可通过同一类广义不等式得以解决。
• M(a) 的极限分布由稳定性指数为 α 的稳定分布刻画，反映了增量的长尾特性。
• M(a) 的收敛速度与尾部行为与无限方差情形下稳定分布的标度性质一致。
• 结果验证了重尾服务时间单服务器队列的重负载近似，将经典结果推广至稳定情形。