[论文解读] Hecke algebras and involutions in Weyl groups

George Lusztg, David A. Vogan|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用 45

一句话总结

本文建立了hecke代数、weyl群对合与半单群中幺幂表示之间的联系。通过frobenius-schur指标和deligne-lusztig簇的余上同调几何实现，证明了由满足ε(ρ) = 1的幺幂表示构成的虚拟表示Θ，等于分次特征R_{M₁}，其差值为与所有不可约w-模正交的修正项ξ。在经典类型中，该修正项消失，故Θ = R_{M₁}。

ABSTRACT

For any two involutions y,w in a Weyl group (y\le w), let P_{y,w} be the polynomial defined in [KL]. In this paper we define a new polynomial P^σ_{y,w} whose i-th coefficient is a_i-b_i where the i-th coefficient of P_{y,w} is a_i+b_i (a_i,b_i are natural numbers). These new polynomials are of interest for the theory of unitary representations of complex reductive groups. We present an algorithm for computing these polynomials.

研究动机与目标

• 通过frobenius-schur指标ε(ρ) ∈ {0,1,−1}理解半单群中幺幂表示的结构。
• 将虚拟表示∑ε(ρ)ρ与通过deligne-lusztig簇实现的w-模的余上同调特征R_E联系起来。
• 证明满足ε(ρ) = 1的幺幂表示之和Θ等于R_{M₁}，模去与所有不可约w-模正交的修正项。
• 通过不可约表示在M₁中的重数，计算weyl群的双侧cell中元素的个数。

提出的方法

• 利用幺幂表示上的frobenius-schur指标，定义虚拟表示Θ = ∑_{ρ∈U, ε(ρ)=1} ε(ρ)ρ。
• 对每个w-模E，使用几何实现R_E = |W|⁻¹∑_{w∈W} tr(w,E)∑_i(−1)^i H^i_c(X_w, Q̅_l)。
• 建立三元组(F,y,r)与幺幂表示ρ_F,y,r之间的双射，且满足ε(ρ_F,y,r) = 1当且仅当|F| ≠ 2且y在r上作用为±1，或|F| = 2且y = 1。
• 利用同构M₁ ≅ gr M₁，证明Θ = R_{M₁} + ξ，其中ξ与所有不可约E的R_E正交。
• 利用w的cell分解，分析M₁^⪯c₁/M^≺c₁作为不可约w-模E的直和，其中E ⊣ c，并计算dim(M^⪯c₁/M^≺c₁) = |c ∩ I|。
• 应用kottwitz工作中的已知重数(E:M₁)，显式计算|c ∩ I| = ∑_{E⊣c} (E:M₁)dim(E)。

实验结果

研究问题

• RQ1 幺幂表示ρ满足ε(ρ) = 1的精确条件是什么？
• RQ2 此类表示之和Θ与余上同调特征R_{M₁}之间有何关系？
• RQ3 在恒等式Θ = R_{M₁} + ξ中，修正项ξ的性质是什么？
• RQ4 如何计算双侧cell c与对合集合I的交集|c ∩ I|的大小？
• RQ5 在何种条件下修正项ξ消失？

主要发现

• frobenius-schur指标ε(ρ) = 1当且仅当幺幂表示ρ对应于满足|F| ≠ 2且y在r上作用为±1，或|F| = 2且y = 1的三元组(F,y,r)。
• 满足ε(ρ) = 1的幺幂表示之和Θ满足Θ = R_{M₁} + ξ，其中ξ与所有不可约w-模E的R_E正交。
• 对于经典型的weyl群，修正项ξ消失，故Θ = R_{M₁}。
• 对于f₄或e₈型的w，有(ξ,ξ) = 1，故ξ ≠ 0，但其仍与所有R_E正交。
• 双侧cell c中对合元素的个数为|c ∩ I| = ∑_{E⊣c} (E:M₁)dim(E)，其中(E:M₁)为E在M₁中的重数。
• 该公式通过kottwitz工作中的已知重数，显式计算了|c ∩ I|。