[论文解读] Hecke algebras for inner forms of p-adic special linear groups

Anne‐Marie Aubert, Paul Baum+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文通过从 $p$-进特殊线性群 $\mathrm{SL}_n(F)$ 的内形 $\mathrm{GL}_n(F)$ 的内形限制，为 $p$-进特殊线性群 $\mathrm{SL}_n(F)$ 的 Bernstein 分量构造了 Hecke 代数。通过利用 $\mathrm{GL}_n(F)$ 的类型并下降到李群的导出群 $G^\sharp$，本文展示了某个显式代数，其模范畴与每个 L-不可区分的 Bernstein 分量的复光滑 $G^\sharp$-表示范畴等价。关键结果是：这些 Hecke 代数与类型 $A$ 的仿射 Hecke 代数相似，但通常并不与该代数和有限群的半直积 Morita 等价。

ABSTRACT

Let F be a non-archimedean local field and let $G^\sharp$ be the group of F-rational points of an inner form of $SL_n$. We study Hecke algebras for all Bernstein components of $G^\sharp$, via restriction from an inner form G of $GL_n (F)$. For any packet of L-indistinguishable Bernstein components, we exhibit an explicit algebra whose module category is equivalent to the associated category of complex smooth $G^\sharp$-representations. This algebra comes from an idempotent in the full Hecke algebra of $G^\sharp$, and the idempotent is derived from a type for G. We show that the Hecke algebras for Bernstein components of $G^\sharp$ are similar to affine Hecke algebras of type A, yet in many cases are not Morita equivalent to any crossed product of an affine Hecke algebra with a finite group.

研究动机与目标

• 通过与 Bernstein 分量相关的 Hecke 代数理解 $p$-进 $\mathrm{SL}_n(F)$ 的内形的表示理论。
• 在光滑复 $G^\sharp$-表示范畴与某个显式 Hecke 代数上的模范畴之间建立 Morita 等价。
• 证明 $G^\sharp$ 的相应 Hecke 代数在结构上类似于类型 $A$ 的仿射 Hecke 代数，但通常不与该代数和有限群的半直积 Morita 等价。
• 通过导出群 Hecke 代数中的幂等元，建立从 $\mathrm{GL}_n(F)$-类型到 $\mathrm{SL}_n(F)$-类型的下降过程。

提出的方法

• 使用 $\mathrm{GL}_n(F)$-表示的类型，特别是 Sécherre–Stevens 构造 Bernstein 分量的类型。
• 在 $G = \mathrm{GL}_m(D)$ 中构造一个类型，其中 $D$ 是 $F$ 上的除法代数，由此在 $G^\sharp$ 的完整 Hecke 代数中构造一个特定的幂等元。
• 通过限制从 $G$ 到其导出群 $G^\sharp$，利用约化范数映射和中间群 $H^\sharp = G^\sharp Z(G)$ 的结构，实现 Hecke 代数的下降。
• 应用 Bernstein 的 Bernstein 块理论，利用 Bernstein 环 $T_{\mathfrak{s}}$ 和有限 Weyl 群 $W_{\mathfrak{s}}$ 对分量进行分类。
• 利用投影正规化子和互换算子，通过 $I(\gamma, \pi)$ 和 $X^G({\mathfrak{s}}/\lambda)$ 将 $G$ 和 $G^\sharp$ 上的表示联系起来。
• 显式计算 Hecke 代数 $\mathcal{H}(G^\sharp)^{\mathfrak{s}}$ 为 $\mathfrak{t}^\sharp \prec \mathfrak{s}$ 上的代数 $\mathcal{H}(G^\sharp)^{\mathfrak{t}^\sharp}$ 的乘积，最终代数来自 $\mathcal{H}(G^\sharp)$ 中的幂等元。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用 Hecke 代数描述 $\mathrm{SL}_n(F)$ 的内形 $G^\sharp$ 的光滑复表示范畴？
• RQ2 与 $G^\sharp$ 的 Bernstein 分量 $\mathfrak{s}$ 关联的 Hecke 代数 $\mathcal{H}(G^\sharp)^{\mathfrak{s}}$ 的结构是什么？
• RQ3 这些 $G^\sharp$ 的 Hecke 代数在多大程度上与类型 $A$ 的仿射 Hecke 代数 Morita 等价？
• RQ4 能否通过限制和幂等元下降，将 $G^\sharp$ 的表示理论约化为 $G = \mathrm{GL}_m(D)$ 的表示理论？
• RQ5 在 Hecke 代数的视角下，$G^\sharp$ 的 L-不可区分 Bernstein 分量之间有何关系？

主要发现

• 与 $G^\sharp$ 的 Bernstein 分量 $\mathfrak{s}$ 关联的 Hecke 代数 $\mathcal{H}(G^\sharp)^{\mathfrak{s}}$ 与由 $\mathcal{H}(G^\sharp)$ 中的幂等元构造的特定代数的模范畴 Morita 等价。
• 该代数源自 $G = \mathrm{GL}_m(D)$ 的类型，且幂等元通过从 $G$ 的 Hecke 代数到 $G^\sharp$ 的下降构造而成。
• 最终得到的 $G^\sharp$ 的 Hecke 代数在结构上类似于类型 $A$ 的仿射 Hecke 代数，但通常不与任何仿射 Hecke 代数和有限群的半直积 Morita 等价。
• $\mathrm{Rep}^\mathfrak{s}(G^\sharp)$ 分解为由 $\mathfrak{t}^\sharp \prec \mathfrak{s}$ 索引的 Bernstein 块 $\mathrm{Rep}^{\mathfrak{t}^\sharp}(G^\sharp)$ 的乘积，且对应的 Hecke 代数 $\mathcal{H}(G^\sharp)^{\mathfrak{t}^\sharp}$ 是 $\mathcal{H}(G^\sharp)^{\mathfrak{s}}$ 的最大不可约子代数。
• 对于 $G^\sharp$ 的任意 L-包，其关联的 Hecke 代数被显式描述，并实现与该包中光滑 $G^\sharp$-表示范畴的 Morita 等价。
• 通过例子验证了该构造，包括类型在 $G^\sharp$ 中共轭但在 $G^1$ 中不共轭的情形，表明下降过程中完整群结构的必要性。