[论文解读] Hecke algebras with unequal parameters

G. Lusztig|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2002

Advanced Algebra and Geometry被引用 42

一句话总结

本文将 Hecke 代数中相等参数情形下的 Kazhdan-Lusztig 基与胞腔理论推广至不等参数情形，推广了相等参数情形下的基础结果。该文引入了基于 J-环与张量范畴的新框架，证明了在特定情形（分裂、拟分裂、无限二面体）下的猜想，并通过交点上同调给出了结构常数的几何解释，从而在不使用 perverse sheaves 的前提下，提出了一种从仿射 Weyl 群构造代数群的新方法。

ABSTRACT

These are notes for the Aisenstadt lectures given in may/june 2002 at CRM, Montreal, enlarged and updated in 2014 by taking into account the recent results of Elias and Williamson on Soergel bimodules. The main object is the study of Iwahori-Hecke algebras arising from reductive groups over finite or p-adic fields. We try to extend various results known in the equal parameter case to the case of not necessarily equal parameters.

研究动机与目标

• 将 Hecke 代数中 Kazhdan-Lusztig 基与胞腔理论从相等参数情形推广至不等参数情形。
• 在带权 Coxeter 群设定下，建立 J-环与张量范畴的框架。
• 提出一种不依赖于仿射 Grassmannian 上 perverse sheaves 的新代数方法，从仿射 Weyl 群构造单代数群。
• 提出并提供证据支持关于不等参数情形下胞腔、a-函数与结构常数的猜想。
• 通过一个猜想（25.3）将带权 Coxeter 群中的双侧胞腔与更大、无权的群中的双侧胞腔联系起来。

提出的方法

• 通过生成元与关系式，在带权 Coxeter 群上定义 Iwahori-Hecke 代数，其中权函数 L:W→Z 取值于整数。
• 应用共轭算子，并通过对偶性条件构造新基 (cw)，推广了相等参数情形下的结果。
• 引入 J-环作为 Grothendieck 群的推广，允许非单位元环，并提供将其嵌入单位元环的方法。
• 发展了 J-环的张量范畴版本，从而在不使用交点上同调的前提下，从仿射 Weyl 群构造代数群。
• 在拟分裂情形下使用 Soergel 模理论，在无限二面体情形下通过直接计算来验证猜想。
• 提出结构常数 py,w 的几何解释：其为有限域 Fq 上代数簇的交点上同调 Betti 数，推广了 [KL2]。

实验结果

研究问题

• RQ1 Kazhdan-Lusztig 基与胞腔理论如何推广至 Hecke 代数的不等参数情形？
• RQ2 在不等参数设定下，a-函数与胞腔的作用是什么？它们与表示理论有何关联？
• RQ3 能否在不依赖于仿射 Grassmannian 上 perverse sheaves 的前提下，从仿射 Weyl 群构造出单代数群？
• RQ4 带权 Coxeter 群中的双侧胞腔如何与具有长度函数的更大、无权 Coxeter 群中的双侧胞腔相关联？
• RQ5 在不等参数情形下，结构常数 py,w 的几何意义是什么？

主要发现

• J-环构造被推广至非单位元情形，提供了一种将其嵌入单位元环的方法，从而支持代数运算。
• 通过 J-环的张量范畴版本，成功从仿射 Weyl 群构造出单代数群，避免了对 perverse sheaves 的依赖。
• 关于胞腔与 a-函数的猜想在分裂情形（§15）、拟分裂情形（§16）（通过 Soergel 模）以及无限二面体情形（§17）（通过直接计算）中均得到验证。
• 新基的结构常数 py,w 被猜想为有限域 Fq 上代数簇的交点上同调 Betti 数，推广了 [KL2]。
• 在两个抛物子群的情形下，通过双重陪集分析了新基的行为，得出 §9 中的新结果。
• 当权函数 L 限制在 Coxeter 群 W 上时，其构成 W、S 的有效权函数，且在特定条件下满足 ˜l(wI₀w) = ˜l(wI₀) + ˜l(w)，从而证明了关键技术引理（A.9）。