[论文解读] Hecke C*-algebras, Schlichting completions, and Morita equivalence

S. Kaliszewski, Magnus B. Landstad+1 more|ArXiv.org|Nov 13, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用 7

一句话总结

本文引入了Schlichting完备化作为研究Hecke C*-代数的拓扑工具，通过将Hecke代数ℋ嵌入到完全不连通群Ḡ的群C*-代数的角落pC*(Ḡ)p中，其中p是紧开子群Ḣ的特征函数。关键贡献在于确立了ℋ的C*-完备化与pC*(Ḡ)p一致且与C*(Ḡ) Morita等价的条件，利用Fell和Rieffel的非恒等表示定理，应用于半直积群，并给出PSL(2,ℚq)等例子。

ABSTRACT

The Hecke algebra H(G,H) of a Hecke pair (G,H) is studied using the Schlichting completion (G',H'), which is a Hecke pair whose Hecke algebra is isomorphic to H(G,H) and which is topologized so that H' is a compact open subgroup of G'. In particular, the representation theory and C*-completions of H(G,H) are addressed in terms of the projection p in C*(G') corresponding to the characteristic function of H', using both Fell's and Rieffel's imprimitivity theorems and the identity H(G,H) = p C_c(G') p. An extended analysis of the case where H is contained in a normal subgroup of G (and in particular the case where G is a semidirect product) is carried out, and several specific examples are analyzed using this approach.

研究动机与目标

• 开发一个系统性的框架，利用拓扑和算子代数工具分析Hecke代数的表示理论和C*-完备化。
• 解决Hecke代数在某些情况下（特别是相关群非酉时）缺乏普遍C*-完备化的问题。
• 确立Hecke C*-代数同Schlichting完备化(Ḡ, Ḣ)的群C*-代数中角落代数pC*(Ḡ)p同构的条件。
• 阐明投影p在C*(Ḡ)中为全投影的条件，从而导致pC*(Ḡ)p与C*(Ḡ)之间的Morita-Rieffel等价。
• 为半直积情形提供一种新的、直接计算Hecke C*-代数的方法，无需依赖半群作用或交叉积构造。

提出的方法

• 将Hecke对(G, H)的Schlichting完备化(Ḡ, Ḣ)构造为有限商的逆极限，使得Ḣ成为完全不连通群Ḡ的紧开子群。
• 将Hecke代数ℋ识别为角落代数pC_c(Ḡ)p，其中p = χ_Ḡ是Ḣ的特征函数。
• 利用Fell的非恒等表示定理，通过双模结构将ℋ的正表示与G的某些表示联系起来。
• 应用Rieffel的非恒等表示定理，证明pC*(Ḡ)p与C*(Ḡ)中的理想Ḃ = C*(Ḡ)pC*(Ḡ)是Morita-Rieffel等价的。
• 当G包含一个包含H的正规子群，且半群T = {t ∈ G | tHt⁻¹ ⊇ H}满足G = T⁻¹T时，刻画ℋ的C*-完备化为pC*(Ḡ)p。
• 通过Gelfand谱和pL¹(Ḡ)p的表示理论分析具体例子，包括PSL(2,ℚq)和Iwahori子群。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Hecke代数的C*-完备化同构于Schlichting完备化的群C*-代数中的角落代数pC*(Ḡ)p？
• RQ2 在何种条件下，投影p = χ_Ḡ在C*(Ḡ)中为全投影，从而导致pC*(Ḡ)p与C*(Ḡ)之间的Morita-Rieffel等价？
• RQ3 条件G = T⁻¹T（其中T = {t ∈ G | tHt⁻¹ ⊇ H}）是否完全刻画了ℋ的C*-完备化同构于pC*(Ḡ)p的情形？
• RQ4 能否在不使用半群作用或交叉积构造的情况下，直接计算半直积群的Hecke C*-代数？
• RQ5 在pC*(Ḡ)p为交换代数的情形（例如PSL(2,ℚq)），pC*(Ḡ)p的Gelfand谱与Hecke代数的C*-完备化之间有何关系？

主要发现

• 对于Hecke对(PSL(2,ℚq), PSL(2,ℤq))，Schlichting完备化给出(Ḡ, Ḣ) = (PSL(2,ℚq), PSL(2,ℤq))，且Hecke代数ℋ同构于多项式环ℂ[z + 1/z]，表明其无普遍C*-完备化。
• ℋ的特征标π_z显式给出为：当z ≠ 1时，π_z(φ_m) = [(1 - qz)/(q+1)(1 - z)](z/q)^m + [(q - z)/(q+1)(1 - z)](1/(qz))^m；当z = 1时，π_1(φ_m) = [2m(q-1) + q + 1]/[(q+1)q^m]。
• 代数pL¹(Ḡ)p是交换的且非酉的，因为它允许非自伴特征标，且当z ∈ [−q, −1/q]时，猜想C*(pL¹(Ḡ)p) ≠ pC*(Ḡ)p。
• 当z ∈ ℂ且1/q ≤ |z| ≤ q时，特征标π_z来自PSL(2,ℚq的补充系列表示；当|z| = 1时，来自主系列表示。
• 在Iwahori子群例子中，即使在未满足G = T⁻¹T的有向性条件时，也证明了ℋ表示的正性，从而说明定理6.4的逆命题不成立。
• 当ℋ为交换代数（如PSL(2,ℚq)情形）时，理想Ḃ = C*(Ḡ)pC*(Ḡ)具有连续迹且Dixmier-Douady不变量为零，因此是liminal代数。