[论文解读] Hedgehogs for neutral dissipative germs of holomorphic diffeomorphisms of $(\mathbb{C}^{2},0)$

Tanya Firsova, Mikhail Lyubich+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用 6

一句话总结

该论文证明了在复平面 $(\mathbb{C}^2,0)$ 上具有中性与耗散特征值的全纯微分同胚的半中性不动点附近存在刺猬——紧致、不变且完备的集合。通过拓扑方法，包括锥场、中心流形与布劳威尔区域理论，作者证明了即使线性化失败，此类刺猬依然存在，将佩雷斯-马尔科的一维刺猬理论推广至高维情形。

ABSTRACT

We prove the existence of hedgehogs for germs of complex analytic diffeomorphisms of $(\mathbb{C}^{2},0)$ with a semi-neutral fixed point at the origin, using topological techniques. This approach also provides an alternative proof of a theorem of Pérez-Marco on the existence of hedgehogs for germs of univalent holomorphic maps of $(\mathbb{C},0)$ with a neutral fixed point.

研究动机与目标

• 将一维动力系统中刺猬——紧致不变集——的概念推广至具有半中性不动点的复平面 $(\mathbb{C}^2,0)$ 上的全纯微分同胚的二维情形。
• 在无法线性化的情况下，建立此类映射在局部动力系统中非平凡、紧致、完全不变且完备集合（即刺猬）的存在性。
• 提供一种纯粹的拓扑证明，以证明 $\mathbb{C}^2$ 中刺猬的存在性，避免依赖于先前工作中使用的深层解析圆微分同胚理论。
• 通过相同的拓扑框架重新证明并复现佩雷斯-马尔科的一维刺猬结果，展示其更广泛的应用潜力。

提出的方法

• 采用具有不变锥场的偏超曲动态：在耗散方向上定义竖直锥场 $\mathcal{C}^v_x$，在中性方向上定义水平锥场 $\mathcal{C}^h_x$。
• 利用稳定方向上收缩的主导性，将局部中心流形 $W^c_{\rm loc}(0)$ 构造为中性方向上的图。
• 应用扩展引理（Le Roux）将一个在若尔当区域上的局部同胚 $f^q$ 延拓为 $\mathbb{S}^2$ 上的全局同胚，且仅有两个不动点。
• 利用布劳威尔区域理论与可颂结构识别球面模型中的平移区域，其中 $f^q$ 作为平移作用。
• 利用定理 5.4 中得到的吸引与排斥可颂结构，构造延伸至邻域边界的不变集。
• 证明刺猬中点的强稳定集由竖直类全纯圆盘构成层叠结构，从而确保该集合的完备性与不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在具有半中性不动点的二维全纯设定中构造出刺猬——即紧致、不变且完备的集合？
• RQ2 在一维动力系统中使用的拓扑方法是否可推广至 $\mathbb{C}^2$ 中，以在不依赖约科茨圆微分同胚理论的前提下证明刺猬的存在性？
• RQ3 在 $\mathbb{C}^2$ 中，当线性化失败时，半克雷默不动点附近的不变集的动力结构如何？
• RQ4 如何将 $f^q$ 的动力在球面上全局延拓，以揭示平移区域与不变花瓣结构？
• RQ5 布劳威尔线与可颂结构在构造刺猬并确保其不变性与连通性方面起什么作用？

主要发现

• 在原点邻域内存在一个紧致、连通、完全不变且完备的集合 $\mathcal{H} \subset \overline{B}$，满足 $\mathcal{H} \Subset W^c_{\rm loc}(0)$。
• 集合 $\mathcal{H}$ 包含原点，并与邻域 $B$ 的边界相交，从而确保其非退化性。
• 集合 $\mathcal{H}$ 中每一点均具有定义良好的局部强稳定流形 $W^{ss}_{\rm loc}(x)$，且这些流形的并集构成由竖直类全纯圆盘组成的层叠结构。
• 通过锥场、中心流形理论与布劳威尔区域构造等拓扑方法，确立了 $\mathcal{H}$ 的存在性。
• 该证明为佩雷斯-马尔科关于克雷默映射的一维刺猬存在性定理提供了另一种纯拓扑证明。
• $f^q$ 在球面上的动力具有一个布劳威尔区域 $U(\ell)$，其中 $f^q$ 同胚于一个平移，从而使得不变集可被延拓至边界。