[论文解读] Heegaard Floer homology for manifolds with torus boundary: properties and examples

Jonathan Hanselman, Jacob Rasmussen+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2018

Geometric and Algebraic Topology被引用 5

一句话总结

本文通过在穿孔环面中的浸入曲线与局部系统，为具有环面边界的三维流形建立了赫加德-弗洛尔同调的几何曲线描述。证明了在自旋c共轭下的关键不变性性质，将该不变量与纽结弗洛尔同调及瑟斯顿范数联系起来，并对边界弗洛尔同调中的分次给出了几何解释，应用包括 genus one 变换不变性与拼接构造。

ABSTRACT

This is a companion paper to earlier work of the authors, which interprets the Heegaard Floer homology for a manifold with torus boundary in terms of immersed curves in a punctured torus. We prove a variety of properties of this invariant, paying particular attention to its relation to knot Floer homology, the Thurston norm, and the Turaev torsion. We also give a geometric description of the gradings package from bordered Heegaard Floer homology and establish a symmetry under spin$^c$ conjugation; this symmetry gives rise to genus one mutation invariance in Heegaard Floer homology for closed three-manifolds. Finally, we include more speculative discussions on relationships with Seiberg-Witten theory, Khovanov homology, and $HF^\pm$. Many examples are included.

研究动机与目标

• 通过在穿孔环面中的浸入曲线与局部系统，为具有环面边界的三维流形提供一个几何的、基于曲线的不变量。
• 建立该不变量与经典不变量（如瑟斯顿范数、纽结弗洛尔同调及图拉夫 torsion）之间的联系。
• 对边界赫加德-弗洛尔同调中的分次给出几何解释，并证明其在自旋c共轭下的对称性。
• 利用该框架证明闭合三维流形中 genus one 变换的弗洛尔同调不变性。
• 探讨与西伯格-沃伦理论、凯洪同调及 HF^+ 通过曲线不变量的推测性联系。

提出的方法

• 使用边界赫加德-弗洛尔同调框架，将不变量 $\widehat{\mathit{HF}}(M)$ 定义为 $\partial M \setminus \{z\}$ 中浸入曲线与局部系统的集合，模去正则同伦与同构。
• 应用型D结构的结构定理，将 $\widehat{\mathit{HF}}(M)$ 实现为几何对象，并实现一种可计算的构造性算法。
• 通过在边界环面中对 $\widehat{\mathit{HF}}(M_0)$ 与 $h(\widehat{\mathit{HF}}(M_1))$ 的浸入拉格朗日子流形弗洛尔同调，计算闭合三维流形 $Y = M_0 \cup_h M_1$ 的 $\widehat{\mathit{HF}}(Y)$。
• 通过映射类群在曲线构型上的作用，几何地解释自旋c分次包。
• 利用曲线不变量通过映射锥构造计算 $\mathit{HF}^+$，分析交点复形中的双角形与局部系统。
• 通过拼接三叶草与有理同调球等例子，检验不变性并检测仅从 $\widehat{\mathit{HF}}$ 重构 $\mathit{HF}^+$ 的障碍。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用曲线与局部系统，对具有环面边界的三维流形的赫加德-弗洛尔同调进行几何描述？
• RQ2 该曲线不变量与瑟斯顿范数、纽结弗洛尔同调等经典不变量之间有何关系？
• RQ3 边界弗洛尔同调中的几何分次结构是否在自旋c共轭下表现出对称性？其拓扑后果是什么？
• RQ4 $\widehat{\mathit{HF}}(M)$ 在多大程度上决定了拼接流形 $\mathit{HF}^+(M_0 \cup_h M_1)$？
• RQ5 在何种条件下 $\mathit{HF}^+(M_0 \cup_h M_1)$ 同构于曲线交点的 $\mathit{HF}^+(\widehat{\mathit{HF}}(M_0), h(\widehat{\mathit{HF}}(M_1)))$？

主要发现

• 对于具有环面边界的三维流形，不变量 $\widehat{\mathit{HF}}(M)$ 完全由穿孔环面中浸入曲线与局部系统的集合决定，模去正则同伦与同构。
• 闭合三维流形 $Y = M_0 \cup_h M_1$ 的 $\widehat{\mathit{HF}}(Y)$ 的维数计算为 $\widehat{\mathit{HF}}(M_0)$ 与 $h(\widehat{\mathit{HF}}(M_1))$ 之间的最小交点数，其中三叶草拼接例子的 $\dim \widehat{\mathit{HF}}(Y) = 5$。
• 边界弗洛尔同调中的几何分次结构被证明在自旋c共轭下具有对称性，从而导致赫加德-弗洛尔同调中 genus one 变换的不变性。
• 对于拼接三叶草，$\mathit{HF}^+(Y) \cong \mathcal{T}_+ \oplus \mathbb{F}^3$，通过交点复形中的 7 个生成元与 8 个双角形计算得出。
• 存在一些例子表明，仅从 $\widehat{\mathit{HF}}$ 无法重构 $\mathit{HF}^+$，特别是当局部系统具有大于一的重数时，表明需要更精细的不变量。
• 本文猜想：当 $M_0$ 与 $M_1$ 为弗洛尔简单流形或具有良好且重数为一的局部系统时，有 $\mathit{HF}^+(M_0 \cup_h M_1) \cong \mathit{HF}^+(\widehat{\mathit{HF}}(M_0), h(\widehat{\mathit{HF}}(M_1)))$。