[论文解读] Heegner divisors, $L$-functions and harmonic weak Maass forms

Jan Hendrik Bruinier, Ken Ono|ArXiv.org|Oct 1, 2007

Advanced Mathematical Identities参考文献 23被引用 31

一句话总结

本文证明了权为1/2的调和弱Maass形式作为权为2的模形式L-函数的二次扭曲的中心值与中心导数的生成函数。通过将Borcherds提升推广至调和弱Maass形式，作者构造了具有扭曲Heegner零点的第三类微分形式，利用周期与模曲线上的雅可比簇点，将傅里叶系数与L-值及导数联系起来。

ABSTRACT

Recent works, mostly related to Ramanujan's mock theta functions, make use of the fact that harmonic weak Maass forms can be combinatorial generating functions. Generalizing works of Waldspurger, Kohnen and Zagier, we prove that such forms also serve as "generating functions" for central values and derivatives of quadratic twists of weight 2 modular $L$-functions. To obtain these results, we construct differentials of the third kind with twisted Heegner divisor by suitably generalizing the Borcherds lift to harmonic weak Maass forms. The connection with periods, Fourier coefficients, derivatives of $L$-functions, and points in the Jacobian of modular curves is obtained by analyzing the properties of these differentials using works of Scholl, Waldschmidt, and Gross and Zagier.

研究动机与目标

• 将经典Waldspurger、Kohnen与Zagier关于半整数权形式的结果推广至调和弱Maass形式。
• 建立调和弱Maass形式的傅里叶系数与扭曲L-函数的中心值/导数之间的生成函数关系。
• 将Borcherds提升构造推广至调和弱Maass形式，以生成具有指定扭曲Heegner零点的第三类微分形式。
• 将这些形式的傅里叶系数与周期、L-值以及模曲线雅可比簇上的点等算术不变量联系起来。
• 证明非弱全纯的调和弱Maass形式可通过其傅里叶系数同时编码L-值及其导数。

提出的方法

• 将Borcherds提升推广至调和弱Maass形式，以构造具有扭曲Heegner零点的亚纯第三类微分形式。
• 利用微分算子 $\xi_{1/2}$ 将调和弱Maass形式与权为3/2的模形式（特别是与初等theta级数正交的尖点形式）联系起来。
• 应用Shimura对应与Waldspurger型公式，将Maass形式的傅里叶系数与二次扭曲的中心L-值及导数联系起来。
• 利用Scholl、Waldschmidt以及Gross–Zagier关于周期与L-函数的结果，分析这些微分形式的性质。
• 通过theta提升与数值计算构造显式例子，以验证理论预测，特别是针对水平为37的模形式。
• 使用向量值调和弱Maass形式及其傅里叶展开，以模拟L-值与导数的生成行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 权为1/2的调和弱Maass形式能否同时生成权为2的L-函数的二次扭曲的中心值与中心导数？
• RQ2 Borcherds提升构造如何推广至调和弱Maass形式，以生成具有扭曲Heegner零点的微分形式？
• RQ3 此类形式的傅里叶系数与模形式L-函数的中心L-值或导数之间的确切算术关系为何？
• RQ4 非弱全纯调和弱Maass形式的系数在多大程度上编码了算术信息，如L-导数的消失性或系数的有理性？
• RQ5 模曲线的雅可比点如何通过广义Borcherds提升与调和弱Maass形式的傅里叶系数相关联？

主要发现

• 通过广义Borcherds提升，调和弱Maass形式的傅里叶系数生成了权为2的L-函数的二次扭曲的中心值与中心导数。
• 对于水平为37的模形式 $G_1$，中心导数 $L'(G_1, \chi_{-139}, 1) = 0$ 对应于 $f_1$ 的全纯部分中系数 $c^+(-139)$ 的消失，且 $c^+(-823) = -1$ 对应于雅可比簇中 $Z_{-823,19}$ 的消失。
• 形式 $f_{12}$ 的系数 $c^+(-824)$ 约为 $-322.9986$，对应的 $L'(G_1, \chi_{-824}, 1) \approx 17.5029$，与定理7.8一致。
• 数值结果表明 $3f_1 - f_{12}$ 具有整数傅里叶系数，暗示其与 $g_0$ 的theta提升存在有理结构。
• 形式 $f_{12}$ 的全纯部分为 $e(-12/(4\cdot37)\tau)\mathfrak{e}_{30} - e(-12/(4\cdot37)\tau)\mathfrak{e}_{-30}$，其非零系数与 $\chi_{\Delta}$ 扭曲的预测 $L'$-值相符。
• 在 $f_1$ 中 $c^+(-139)$ 与 $c^+(-823)$ 的有理性直接关联于 $X_0(37)$ 雅可比簇中Heegner零点的消失，确认了其算术意义。