[论文解读] Heffter Arrays and Biembedding Graphs on Surfaces

Dan Archdeacon|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2014

graph theory and CDMA systems参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文引入了赫夫特数组作为组合结构，用于构建电流图，从而实现完全图和完全多重图在曲面上的可定向与不可定向双嵌入。主要贡献是一则定理，证明在赫夫特数组 $ H(m,n;s,t) $ 上存在相容排序时，可生成 $ K_{2ms+1} $ 的面2-着色嵌入，其中每种颜色类构成指定大小 $ s $ 和 $ t $ 的环系，且当排序为简单排序时，面边界为简单环。

ABSTRACT

A Heffter array is an m by n matrix with nonzero entries from Z_{2mn+1} such that i) every row and column sum to 0, and ii) no element from {x,-x} appears twice. We construct some Heffter arrays. These arrays are used to build current graphs used in topological graph theory. In turn, the current graphs are used to embed the complete graph K_{2mn+1} so that the faces can be 2-colored, called a biembedding. Under certain conditions each color class forms a cycle system. These generalize biembeddings of Steiner triple systems. We discuss some variations including Heffter arrays with empty cells, embeddings on nonorientable surfaces, complete multigraphs, and using integer in place of modular arithmetic.

研究动机与目标

• 建立赫夫特数组、电流图与完全图在曲面上的拓扑嵌入之间的联系。
• 通过构造面边界为 $ s $-和 $ t $-环系的嵌入，推广斯坦纳三元系的双嵌入。
• 探索包括不可定向曲面、空单元格、多重图以及整数算术而非模算术在内的各种变体。
• 研究面边界为简单环的条件，特别是通过行与列系统上的简单排序。
• 提出并支持关于在各种参数约束下赫夫特数组存在的猜想，包括整数赫夫特数组与可移位数组。

提出的方法

• 将赫夫特数组 $ H(m,n;s,t) $ 定义为 $ m \times n $ 矩阵，其元素取自 $ \mathbb{Z}_{2ms+1} $，满足每行与每列的和在模 $ 2ms+1 $ 意义下为零，且任意对 $ \{x, -x\} $ 不重复出现。
• 引入行与列单元格上的相容排序 $ \omega_r $ 与 $ \omega_c $，以确保所生成嵌入的面边界为简单环。
• 利用该数组在完全二部图 $ K_{m,n} $ 上定义电流赋值，生成用于构造 $ K_{2ms+1} $ 的可定向嵌入的电流图。
• 应用电流图构造方法，将 $ K_{2ms+1} $ 嵌入曲面，使得面被2-着色，每种颜色类分别形成大小为 $ s $ 与 $ t $ 的环系。
• 将方法扩展至不可定向曲面，使用弱赫夫特数组，并通过 $ \lambda $-重环系调整构造以处理完全多重图 $ K_n^\lambda $。
• 引入整数赫夫特数组（元素在整数上满足零和）与可移位数组（正负元素平衡），以促进构造与参数分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，存在具有相容排序的赫夫特数组 $ H(m,n;s,t) $，使得 $ K_{2ms+1} $ 的嵌入中所有面均为简单环？
• RQ2 能否构造赫夫特数组，使其生成完全多重图 $ K_n^\lambda $ 的双嵌入，具有面2-着色与 $ \lambda $-重环系？
• RQ3 整数或可移位赫夫特数组存在的必要算术条件是什么？
• RQ4 是否总能为赫夫特系统各部分找到简单排序（如阿尔斯帕奇所猜想），这如何影响面边界的简单性？
• RQ5 赫夫特数组是否对所有 $ m,n \geq 3 $ 均存在？在何种条件下为整数或可移位数组？

主要发现

• 定理1.1表明，若赫夫特数组 $ H(m,n;s,t) $ 具有相容的简单排序 $ \omega_r $ 与 $ \omega_c $，则可生成 $ K_{2ms+1} $ 的可定向双嵌入，面大小分别为 $ s $ 与 $ t $，且所有面均为简单环。
• 对所有 $ m,n \geq 3 $，赫夫特数组 $ H(m,n) $ 均存在；当 $ mn \equiv 0,3 \pmod{4} $ 时存在整数赫夫特数组；当 $ m,n $ 为偶数且至少为4时存在可移位数组。
• 引理6.1表明，整数赫夫特数组 $ H(m,n;s,t) $ 要求 $ ms \equiv 0,3 \pmod{4} $；引理6.2进一步限制可移位数组需满足 $ s,t \geq 4 $ 且为偶数，且 $ ms \equiv 0 \pmod{4} $。
• 该构造将斯坦纳三元系（STS）的双嵌入推广至 $ s $-与 $ t $-环系，扩展了已知的 $ n \equiv 5,7 \pmod{12} $ 时三角形双嵌入的存在性。
• 本文为猜想6.4提供了证据，即对所有 $ m,n \geq 3 $，赫夫特数组 $ H(m,n) $ 均存在，目前已有证明在准备中，并提供了用于构造的计算机程序。
• 作者验证了阿尔斯帕奇关于大小至25的集合的简单排序猜想，支持了构造具有简单面边界的嵌入的可行性。