[论文解读] Height and contour processes of Crump-Mode-Jagers forests (I): general distribution and scaling limits in the case of short edges

Emmanuel Schertzer, Florian Simatos|Open Archive Toulouse Archive Ouverte (University of Toulouse)|Jun 10, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 23被引用 7

一句话总结

本文建立了柯姆普-莫德-賈吉（CMJ）森林的高程過程與其底層盧卡謝維奇路徑的階梯高程過程之間的一般分佈關係。在邊長較短的假設下，證明了高程過程與伽頓-沃森高程過程呈線性比例縮放，輪廓過程通過恆定時間變換產生，且CMJ森林在有限維分佈意義下收斂於極限定律。

ABSTRACT

Crump-Mode-Jagers (CMJ) trees generalize Galton-Watson trees by allowing individuals to live for an arbitrary duration and give birth at arbitrary times during their life-time. In this paper, we are interested in the height and contour processes encoding a general CMJ tree. We show that the one-dimensional distribution of the height process can be expressed in terms of a random transformation of the ladder height process associated with the underlying Lukasiewicz path. As an application of this result, when edges of the tree are "short" we show that, asymptotically, (1) the height process is obtained by stretching by a constant factor the height process of the associated genealogical Galton-Watson tree, (2) the contour process is obtained from the height process by a constant time change and (3) the CMJ trees converge in the sense of finite-dimensional distributions.

研究动机与目标

• 使用盧卡謝維奇路徑的階梯高程過程的隨機變換，表徵一般CMJ森林中高程過程的一維分佈。
• 研究當邊長相對於樹大小較短時，CMJ森林中高程與輪廓過程的漸近行為。
• 在有限維分佈意義下，建立CMJ森林對極限定律的函數收斂性。
• 在邊長較短的假設下，將經典的伽頓-沃森樹極限定律結果推廣至更一般的CMJ框架。
• 統一有限與無限方差 offspring 分佈下高程與輪廓過程的極限定律行為。

提出的方法

• 透過CMJ森林的盧卡謝維奇路徑相關階梯高程過程的隨機變換推導高程過程的分佈。
• 利用脊椎分解與CMJ森林嵌入連續時間馬爾可夫分支過程的方法分析路徑結構。
• 應用弱收斂技術，證明歸一化高程過程收斂於相關伽頓-沃森樹高程過程的常數倍。
• 透過對高程過程施加恆定時間變換，利用函數極限定理建立輪廓過程的收斂性。
• 運用緊緻性論證與耦合技術，結合更新過程與更新測度，控制在邊長較短假設下的收斂性。
• 利用底層Lévy過程及其相關更新過程的收斂性，推導算術與非算術情況下的極限定律。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以盧卡謝維奇路徑的階梯高程過程表達一般CMJ森林的高程過程？
• RQ2 當邊長較短時，CMJ森林中高程與輪廓過程的漸近行為為何？
• RQ3 CMJ森林在何種條件下於有限維分佈意義下收斂於極限定律？
• RQ4 高程與輪廓過程的極限定律與相關伽頓-沃森過程的極限定律有何關係？
• RQ5 邊長分佈的算術性或非算術性在高程與輪廓過程收斂性中扮演何種角色？

主要发现

• CMJ森林中高程過程的一維分佈可表徵為底層盧卡謝維奇路徑階梯高程過程的隨機變換。
• 當邊長較短時，CMJ森林的歸一化高程過程弱收斂於相關伽頓-沃森樹高程過程的常數倍。
• CMJ森林的歸一化輪廓過程弱收斂於與高程過程相同的極限定律，但需施加恆定時間變換。
• 在方差有限的臨界情況下，高程與輪廓過程收斂於縮放係數為 $ \frac{2}{\sigma} $ 的反射布朗運動，其中 $ \sigma $ 為 offspring 分佈的方差。
• 在無限方差情況下，若 offspring 分佈處於 $ \alpha $-穩定分佈的吸引域內（$ \alpha \in (1,2) $），極限定律為非負Lévy過程的函數。
• 在邊長較短的假設下，有限維分佈的緊緻性已建立，且透過耦合與更新理論論證，在算術與非算術情況下均證明了收斂性。