[论文解读] Height process for super-critical continuous state branching process

Jean‐François Delmas|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2006

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 16被引用 15

一句话总结

本文通过构造在 [0,a] 上带正漂移的反射布朗运动在 a→∞ 时的投影极限，为带二次分支机制的超临界连续状态分支过程（CSBP）引入了高程过程。它建立了修剪（移除子树）与大小加权移民之间的对偶性，将 Ray-Knight 定理推广至超临界情形，并证明了高程过程的局部时过程以超临界 CSBP 的形式演化。

ABSTRACT

We define the height process for super-critical continuous state branching processes with quadratic branching mechanism. It appears as a projective limit of Brownian motions with positive drift reflected at 0 and a>0 as a goes to infinity. Then we extend the pruning procedure of branching processes to the super-critical case. This give a complete duality picture between pruning and size proportional immigration for quadratic continuous state branching processes.

研究动机与目标

• 为具有二次分支机制的超临界连续状态分支过程（CSBP）定义高程过程，将基因谱系编码从临界和次临界情形扩展至超临界情形。
• 通过在水平 a 处引入有限的上吸收屏障，解决超临界情形下吸收时间的局部时可能为无穷的问题。
• 为 a>0 构造 [0,a] 上高程过程的一致族，并在 a→∞ 时取投影极限，以定义超临界 CSBP 的通用高程过程。
• 建立二次 CSBP 中修剪（移除子树）与大小加权移民之间的对偶性，将 Ray-Knight 定理推广至超临界情形。

提出的方法

• 将高程过程 H^θ,a 定义为在 0 和 a 处反射、漂移为 -2θ 的布朗运动，其中 a>0。
• 通过投影映射 π_{a,b} 构造一致的过程族，该映射通过低于 b 的局部时的时间变换，将 C^a 中的路径映射至 C^b。
• 利用反射扩散的马氏性和强马氏性，证明 (H^θ,a, a>0) 族的一致性。
• 将投影极限 H^θ = (H^θ,a, a≥0) 构造为取值于 C([0,∞), [0,∞)) 的右连左极过程，具有所需的有限维分布。
• 采用次鞅问题方法，使用测试函数 g 表征极限过程的分布，证明其满足具有漂移 -2(θ+γ) 的反射扩散的 SDE。
• 证明高程过程在水平 r 处、直到首次命中水平 0 的时间 T^θ 的局部时，服从具有分支机制 ψ_θ 的超临界 CSBP。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管存在无限灭绝时间的可能性，是否仍可为具有二次分支机制的超临界连续状态分支过程定义高程过程？
• RQ2 当过程几乎必然不灭绝时，如何通过高程过程编码超临界 CSBP 的基因谱系结构？
• RQ3 当上吸收屏障 a→∞ 时，高程过程的极限行为如何？其是否产生一致的投影极限？
• RQ4 是否存在类似于临界情形的对偶性，使得在超临界情形下修剪操作与移民之间存在对偶关系？
• RQ5 高程过程在水平 r 处的局部时是否以具有相同分支机制的超临界 CSBP 形式演化？

主要发现

• 超临界 CSBP 的高程过程 H^θ 定义为在 a→∞ 时，[0,a] 上带漂移 -2θ 的反射布朗运动的投影极限。
• 在投影映射 π_{a,b} 下，过程族 (H^θ,a, a>0) 保持一致，确保了投影极限 H^θ 的存在性。
• 在时间 T^θ = inf{t>0 : L^θ_0(t) = x} 之前，水平 r 处的局部时过程 L^θ(r, T^θ) 服从具有分支机制 ψ_θ(u) = 2u² + 4θu 的超临界 CSBP。
• 在二次 CSBP 中，修剪与大小加权移民之间存在对偶性：修剪一棵树等价于在对偶过程中增加一个移民成分。
• 极限过程 H^θ 满足具有漂移 -2θ 且在 0 和 ∞ 处反射的 SDE，其局部时结构恢复了 CSBP 的动力学。
• 证明依赖于次鞅问题的表征，表明局部时过程满足超临界 CSBP 的生成元，从而确认了对偶性。