[论文解读] Heights and preperiodic points of polynomials over function fields

Robert L. Benedetto|ArXiv.org|Oct 20, 2005

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 6被引用 6

一句话总结

该论文证明，在函数域上的多项式中，若其典范高度为零，则其点为预周期点，当且仅当该多项式是非等变的（即无法通过常数域上的多项式共轭化简）。关键结果表明，除非映射是等变的，否则不存在典范高度为零的非预周期点，从而在函数域设定下解决了动力系统中对北克特定理（Northcott's finiteness principle）的类比问题。

ABSTRACT

Let K be a function field in one variable over an arbitrary field F. Given a rational function f(z) in K(z) of degree at least two, the associated canonical height on the projective line was defined by Call and Silverman. The preperiodic points of f all have canonical height zero; conversely, if F is a finite field, then every point of canonical height zero is preperiodic. However, if F is an infinite field, then there may be non-preperiodic points of canonical height zero. In this paper, we show that for polynomial f, such points exist only if f is isotrivial. In fact, such K-rational points exist only if f is defined over the constant field of K after a K-rational change of coordinates.

研究动机与目标

• 确定在函数域上，典范高度为零的点何时为预周期点，尤其与全局域进行对比。
• 解决在无限域上的函数域中，典范高度为零 ⇔ 预周期性等价关系失效的问题。
• 阐明等变性在非预周期高度为零点存在性中的作用。
• 扩展函数域上动力系统中预周期点的有限性结果，类比北克特定理。
• 证明函数域上的非等变多项式满足典范高度为零 ⇔ 预周期性条件，其行为与数域情形一致。

提出的方法

• 使用由 Call-Silverman 理论定义的有理映射相关典范高度。
• 通过在函数域每个位置上的局部动力学分析，利用填充若尔当代数集（filled Julia sets）。
• 应用乘积公式，以限制在不同位置的填充若尔当代数集中点之间的差异。
• 分析约化类型（良好、不良、潜在良好），以控制填充若尔当代数集的几何结构。
• 利用仿射共轭检验等变性：若一个映射在 K-有理坐标变换后可定义在常数域上，则其为等变的。
• 通过估计在不同位置的填充若尔当代数集交集中 K-有理点的数量，得出有限性结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在函数域上的多项式满足何种条件时，其典范高度为零的点不是预周期点？
• RQ2 等变性在非预周期典范高度为零点存在性中起何精确作用？
• RQ3 在无限域上的函数域中，能否恢复典范高度为零 ⇔ 预周期性的等价关系？
• RQ4 不同位置上填充若尔当代数集的结构如何限制高度为零的有理点的存在性？
• RQ5 在非等变函数域动力系统中，可建立何种预周期点的有限性界？

主要发现

• 对于函数域上的非等变多项式，每个典范高度为零的 K-有理点均为预周期点。
• 若多项式是非等变的，则其典范高度为零的 K-有理点集是有限的。
• 若多项式是等变的，则可能存在非预周期的高度为零点，如 φ(z) = z² 在 Q(T) 上的示例所示。
• 对于 s 个不良约化位置，K-有理预周期点的数量被界为 O(s log s)，并给出了显式界。
• 证明依赖于如下事实：若 K-有理点在所有位置的填充若尔当代数集中，则除非仅有有限多个，否则会违反乘积公式。
• 该结果将北克特定理型有限性推广至函数域设定下的非等变映射，类比于数域情形的结果。