[论文解读] Heights in Finite Projective Space, and a Problem on Directed Graphs

Melvyn B. Nathanson, Blair D. Sullivan|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2007

Graph theory and applications参考文献 2被引用 6

一句话总结

本文在 𝔽ₚ 上的有限射影空间中引入了一种新颖的点高度函数，建立了 d=2 时高度的显式公式与界限。该研究将这些结果应用于有向凯莱图的无环化所需边删除数的上界估计，证明了 β(G) ≤ hₚ(⟨a₁,…,aₙ⟩) ≤ dp/2，并在无三角形图的情况下验证了该界限，从而支持了在 𝔽ₚ 上的卡塞塔-哈格克维斯特猜想。

ABSTRACT

Let $\F_p = \Z/p\Z$. The \emph{height} of a point $\mathbf{a}=(a_1,..., a_d) \in \F_p^d$ is $h_p(\mathbf{a}) = \min \left\{\sum_{i=1}^d (ka_i \mod p) : k=1,...,p-1 ight\}.$ Explicit formulas and estimates are obtained for the values of the height function in the case $d=2,$ and these results are applied to the problem of determining the minimum number of edges the must be deleted from a finite directed graph so that the resulting subgraph is acyclic.

研究动机与目标

• 在 𝔽ₚ 上的有限射影空间中定义并分析点的高度函数。
• 推导 d=2 情况下高度函数的显式公式与界限。
• 将高度理论应用于最小化使有向图变为无环所需删除边数的问题。
• 为 𝔽ₚ 上的凯莱图提供最小边删除数的上界，支持卡塞塔-哈格克维斯特猜想。

提出的方法

• 将点 ⟨a₁,…,aₙ⟩ ∈ ℙ^{d−1}(𝔽ₚ) 的高度定义为 hp(𝐚) = minₖ₌₁^{p−1} ∑ᵢ (kaᵢ mod p)。
• 通过平均法建立上界：hp(𝐚) ≤ ⌊d*𝐩/2⌋，其中 d* 为非零分量的数量。
• 在 ℤ/pℤ 上利用置换构造方法，通过移除在循环移位下满足 σ(k) + aⱼ < σ(k) 的索引对应的边，来定义无环子图。
• 从 𝔽ₚ^* 的子集 A ⊆ 𝔽ₚ^* 构造凯莱图 G = (𝔽ₚ, E_A)，并将 β(G)（最小边删除数）与高度函数 hp(⟨a₁,…,aₙ⟩) 关联起来。
• 利用置换诱导的排序，证明 β(G) ≤ minₖ₌₁^{p−1} ∑ⱼ (kaⱼ mod p) = hp(⟨a₁,…,aₙ⟩)。
• 将该界限应用于 𝔽ₚ 上的无三角形凯莱图，证明当 p ≥ 7 时，β(G) ≤ (p−1)/2 ≤ γ(G)/2。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 d=2 时，ℙ¹(𝔽ₚ) 中高度函数 hp(𝐚) 的精确值与界限是什么？
• RQ2 高度函数 hp(𝐚) 如何与使有向凯莱图变为无环所需删除的最小边数相关联？
• RQ3 高度函数能否用于证明或支持在加法群 𝔽ₚ 上的凯莱图的卡塞塔-哈格克维斯特猜想？
• RQ4 ℙ^{d−1}(𝔽ₚ) 中点的最大可能高度是多少？其如何依赖于 d 和 p？
• RQ5 对于哪些 𝔽ₚ^* 中的 a 值，hp(⟨1,a⟩) 达到最小或最大？其精确值是多少？

主要发现

• 当 d=2 且 a ∈ 𝔽ₚ^* 时，高度 hp(⟨1,a⟩) 满足 hp(⟨1,a⟩) ≤ 1 + (a mod p)，且当 a mod p < √p 时取等。
• 当且仅当 a ≡ 1 mod p 时，hp(⟨1,a⟩) = 2；当且仅当 a ≡ 2 或 (p+1)/2 mod p 时，hp(⟨1,a⟩) = 3。
• 在 ℙ^{d−1}(𝔽ₚ) 中，最大高度为 dp/2（当 d 为偶数时），当 d 为奇数时，其值介于 (d−1)p/2 + 1 与 (dp−1)/2 之间。
• 对于任意子集 A = {a₁,…,aₙ} ⊆ 𝔽ₚ^*，使凯莱图无环所需的最小边删除数满足 β(G) ≤ hp(⟨a₁,…,aₙ⟩) ≤ dp/2。
• 在 𝔽ₚ 上的无三角形凯莱图中，当 p ≥ 7 时，有 β(G) ≤ (p−1)/2，该值至多为图中边数的一半。
• 边界 β(G) ≤ hp(⟨a₁,…,aₙ⟩) 是紧的，且通过基于置换的边删除策略推导得出，该策略可诱导出无环子图。