[论文解读] Heights of Heegner points on Shimura curves

Shou-Wu Zhang|ArXiv.org|Jan 1, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 4

一句话总结

该论文通过研究与四元数代数相关的希米拉曲线上的希格纳点，将格罗斯-察吉耶尔定理和科利瓦金定理推广到全实数域。在对水平和域次数施加温和条件的前提下，证明了某个阿贝尔簇在全实域上的Mordell-Weil秩等于其L函数在s=1处的零点阶数，且其沙法列维奇-塔特群是有限的。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to generalize some results of Gross-Zagier [20] and Kolvyvagin [28] to totally real fields.

研究动机与目标

• 将格罗斯-察吉耶尔和科利瓦金定理从Q推广到任意全实数域。
• 建立希尔伯特新形式的L函数的解析秩与全实域上阿贝尔簇的代数秩之间的联系。
• 证明与平行权2的希尔伯特新形式相关的阿贝尔簇的沙法列维奇-塔特群是有限的。
• 在希米拉曲线上构造CM点的欧拉系统，以控制Mordell-Weil群。
• 通过雅克-朗斯转移，将模形式与L函数理论推广至希伯特模形式的框架。

提出的方法

• 在全实域F上构造希米拉曲线，作为上半平面关于四元数代数B的算术子群的商，其中B在除一个实位点外的所有实位点上均非分歧。
• 利用雅克-朗斯对应，将GL2(AF)上的新形式转移到B的乘法群上的自守形式。
• 将希格纳点定义为与一个在N处无分歧且满足格罗森查特特征符号条件的虚二次扩张E/F相关的希米拉曲线上的CM点。
• 应用艾歇勒-申布尔关系与整体交点理论，计算希米拉曲线上阿贝尔簇的雅可比簇中希格纳点的高度配对。
• 使用阿基米德与非阿基米德交点理论，包括克利福德代数与 linking 数，计算局部与整体高度配对。
• 利用Rankin-Selberg方法与全纯投影，将Eisenstein级数的傅里叶系数与L函数及其导数的特殊值联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 格罗斯-察吉耶尔和科利瓦金定理能否从Q推广到全实数域？
• RQ2 希尔伯特新形式的L函数在s=1处的零点阶数与全实域上相关阿贝尔簇的Mordell-Weil秩之间的确切关系是什么？
• RQ3 如何在全实域上的希米拉曲线上构造CM点的欧拉系统，以控制Mordell-Weil群？
• RQ4 希米拉曲线上雅可比簇的结构是什么？它与自守L函数有何关联？
• RQ5 希米拉曲线上局部与整体高度配对如何计算L函数的特殊值与导数？

主要发现

• 与平行权2和水平K0(N)的希尔伯特新形式f相关的全实域F上阿贝尔簇A的Mordell-Weil秩等于L(s,f)在s=1处的零点阶数乘以[Of : Z]。
• 若L函数L(s,f)在s=1处的零点阶数≤1，则A的沙法列维奇-塔特群是有限的。
• 在虚二次扩张F的类场环上构造了CM点的欧拉系统，其在Hecke算子作用下满足所需的相容性。
• 通过Rankin-Selberg方法，希米拉曲线上雅可比簇中希格纳点的整体高度配对计算了L函数的导数。
• 利用克利福德代数与linking数，计算了阿基米德与非阿基米德位点处的局部高度配对，从而导出高度的整体公式。
• 高度配对的最终公式与L函数的导数完全匹配，确立了主要的算术-几何对应关系。