[论文解读] Heights of varieties in multiprojective spaces and arithmetic Nullstellensatze

Carlos D’Andrea, Térésa Krick+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2011

Polynomial and algebraic computation参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文利用算术交叠理论与典型混合高度，为多重射影空间中代数簇上的多项式在算术Nullstellensatz中的次数和高度建立了有效界。该研究将Jelonek的几何结果推广至算术设置，为簇上的Bézout恒等式提供了显式的次数与高度估计，应用于隐式化与数域上的有效代数几何。

ABSTRACT

We present bounds for the degree and the height of the polynomials arising in some central problems in effective algebraic geometry including the implicitation of rational maps and the effective Nullstellensatz over a variety. Our treatment is based on arithmetic intersection theory in products of projective spaces and extends to the arithmetic setting constructions and results due to Jelonek. A key role is played by the notion of canonical mixed height of a multiprojective variety. We study this notion from the point of view of resultant theory and establish some of its basic properties, including its behavior with respect to intersections, projections and products. We obtain analogous results for the function field case, including a parametric Nullstellensatz.

研究动机与目标

• 为多重射影空间中代数簇上的Bézout恒等式中多项式的次数与高度建立有效界。
• 利用算术交叠理论，将Jelonek关于有效Nullstellensatz的几何结果推广至算术设置。
• 引入并研究乘积射影空间中子簇的典型混合高度，尤其针对Q和函数域的情形。
• 建立参数型与强型算术Nullstellensatz，并提供显式的次数与高度估计。
• 将这些界应用于隐式化与数域上的有效代数几何时的问题。

提出的方法

• 作者利用算术交叠理论与结式理论的工具，定义并分析了多重射影空间中子簇的典型混合高度。
• 通过消去理论以及在多重射影几何中使用消元子与结式，建立了隐式方程高度的界。
• 该方法涉及将多项式提升至函数域，应用参数型Nullstellensatz，并通过系数提取获得积分恒等式。
• 关键技术工具包括混合次数、复多项式度量，以及通过系数对数范数进行的高度估计。
• 该方法结合了代数几何与算术几何，特别利用了子簇的典型高度与通过结式得到的次数界。
• 构造依赖于对系数与单项式支撑的参数化，以控制Bézout恒等式中高度的增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于定义在Q上的给定代数簇，Bézout恒等式中多项式的有效次数与高度界是什么？
• RQ2 乘积射影空间中子簇的典型混合高度如何反映其几何与算术复杂性？
• RQ3 参数型Nullstellensatz能否用于推导系数变化的簇上多项式族的有效界？
• RQ4 在多重射影空间中，有理映射下隐式方程的高度行为如何？
• RQ5 多重射影几何中的混合次数与结式如何控制有效Nullstellensatz的复杂性？

主要发现

• 对于纯维数为 $ r $ 的代数簇 $ V \subset \mathbb{A}^n(\overline{\mathbb{Q}}) $，以及多项式 $ f_1, \dots, f_s \in \mathbb{Z}[x_1, \dots, x_n] $ 满足 $ s \leq r+1 $ 且在 $ V $ 上无公共零点，则存在一个在 $ V $ 上成立的Bézout恒等式 $ \alpha = \sum g_i f_i $，满足 $ \deg(g_i f_i) \leq \left( \prod_{j=1}^s d_j \right) \deg(V) $，其中 $ d_j = \deg(f_j) $。
• 多项式 $ \alpha $ 与每个 $ g_i $ 的高度满足 $ \operatorname{h}(\alpha), \operatorname{h}(g_i) + \operatorname{h}(f_i) \leq \left( d_s \prod_{j=1}^r d_j \right) \left( \widehat{h}(V) + \deg(V) \left( \frac{h_s}{d_s} + \sum_{\ell=1}^r \frac{h}{d_\ell} + 3r\log(s-r) + (6r+8)\log(n+3) \right) \right) $，其中 $ h_j = \operatorname{h}(f_j) $。
• 本文证明了在函数域上的参数型Nullstellensatz，表明对于系数属于 $ \mathbb{Z}[\mathbf{v}] $ 的多项式族，Bézout恒等式可被提升，且其次数与高度受系数支撑与次数的控制。
• 对于算术强Nullstellensatz，本文推导了恒等式 $ \alpha g^\mu = \sum g_i f_i $ 中 $ \alpha $ 与 $ g_i $ 的界，其高度控制显式地涉及 $ \widehat{h}(V) $、$ \deg(V) $ 以及 $ n $、$ d_j $ 与 $ s $ 的对数项。
• 典型混合高度在投影、交集与乘积下表现良好，并通过结式理论与混合次数得到刻画。
• 有理映射中隐式方程的高度由输入映射的次数与高度有界，其显式依赖于变量数与系数支撑的大小。