[论文解读] Heights on stacks and a generalized Batyrev-Manin-Malle conjecture

Jordan S. Ellenberg, Matthew Satriano+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 4

一句话总结

本文引入了全局域上代数堆栈上有理点的新高度概念，该概念同时推广了有理点在代数簇上的Batyrev–Manin猜想与数域上Malle猜想。作者通过堆栈上的向量丛定义高度，在关键例子如分类堆栈、对称幂和加权射影堆栈中计算了这些高度，并提出了一个统一的猜想，预测有界高度下有理点的渐近增长。

ABSTRACT

We define a notion of height for rational points with respect to a vector bundle on a proper algebraic stack with finite diagonal over a global field, which generalizes the usual notion for rational points on projective varieties. We explain how to compute this height for various stacks of interest (for instance: classifying stacks of finite groups, symmetric products of varieties, moduli stacks of abelian varieties, weighted projective spaces). In many cases our uniform definition reproduces ways already in use for measuring the complexity of rational points, while in others it is something new. Finally, we formulate a conjecture about the number of rational points of bounded height (in our sense) on a stack X, which specializes to the Baytev-Manin conjecture when X is a scheme and to Malle's conjecture when X is the classifying stack of a finite group.

研究动机与目标

• 为尚未可嵌入射影空间的代数堆栈上的有理点解决缺乏标准高度定义的问题，此类堆栈不同于概形。
• 推广经典Batyrev–Manin猜想（关于法诺簇上具有有界高度的有理点）与Malle猜想（关于具有有界判别式的数域），实现统一。
• 通过向量丛及其相关高度，为堆栈上理性点的复杂度提供统一的度量框架。
• 计算多种重要堆栈（包括$BG$、簇的对称幂、阿贝尔簇的模堆栈和加权射影堆栈）的新高度不变量。
• 提出关于堆栈上具有有界高度的有理点渐近计数的猜想，该猜想在适当情形下退化为Batyrev–Manin与Malle猜想。

提出的方法

• 利用全局域上具有有限对角的拟正则代数堆栈上的向量丛，定义其有理点的高度函数，推广Weil在射影簇上的高度。
• 使用“调谐堆栈”与“调谐层”的概念，通过将堆栈的有限覆盖拉回到概形，构造高度。
• 引入局部分歧校正项，以确保在不同覆盖与堆栈结构下高度定义的一致性。
• 将高度定义应用于特定堆栈：有限群$G$的$BG$，$ \mu_n$的$B\mu_n$，簇的对称幂，加权射影堆栈，以及阿贝尔簇的模堆栈。
• 利用Arakelov理论与堆栈曲线上的交比理论，通过正规概形的有限平坦覆盖，定义线丛与挠层的次数。
• 提出关于堆栈上具有有界高度的有理点数量渐近增长的猜想，其指数由“堆栈反 canonical 高度”与预期形变维数决定。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为代数堆栈上的有理点定义一个高度不变量，使其同时推广经典代数簇上的高度与数域中基于判别式的计数？
• RQ2 在何种情况下，所提出的高度构造与算术几何中已有的非标准复杂度概念一致？
• RQ3 堆栈上具有有界高度的有理点数量的渐近行为如何？该行为如何统一Batyrev–Manin与Malle猜想？
• RQ4 在堆栈曲线与高维堆栈的背景下，高度在拉回与有限映射下如何表现？
• RQ5 预期形变维数（edd）在预测堆栈上理性点增长速率方面起什么作用？

主要发现

• 所提出的高度构造推广了射影簇上的经典Weil高度，并在$BG$与加权射影堆栈上恢复了已知高度定义。
• 对于有限群$G$的分类堆栈$BG$，高度函数对应于$G$-扩张的判别式，从而在数域渐近计数中恢复Malle猜想。
• 对于$\mathbb{P}^n$的对称幂，高度函数与标准高度定义一致，且猜想预测渐近增长形式为$cB^{a}(\log B)^b$，其中指数显式给出。
• 在加权射影堆栈上，高度函数与Deng以及Beshaj–Gutierrez–Shaska的已有定义一致，验证了构造在已知情形下的正确性。
• 该猜想预测：当预期形变维数（edd）为负时，具有有界高度的有理点数量有限，暗示了Lang–Vojta猜想的堆栈类比。
• 通过定义B.5中的次数归一化，高度是良定义的，且不依赖于有限平坦覆盖的选择，从而确保了堆栈上算术交比理论的一致性。