[论文解读] Heisenberg homology on surface configurations

Christian Blanchet, Martin Palmer+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2021

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 33被引用 5

一句话总结

本论文提出了一类新的同调表示，用于具有一个边界分量的亏格-$g$曲面的映射类群，其基于从离散海森堡群导出的局部系统，对无序配置空间的扭曲同调进行构造。通过利用曲面 braid 群的海森堡商群的非交换结构，作者构建了扭曲与非扭曲表示，包括通过 Sroedinger 表示得到的酉表示，及其在稳定普遍中心扩张上的提升。

ABSTRACT

Motivated by the Lawrence-Krammer-Bigelow representations of the classical braid groups, we study the homology of unordered configurations in an orientable genus-$g$ surface with one boundary component, over non-commutative local systems defined from representations of the discrete Heisenberg group. Mapping classes act on the local systems and for a general representation of the Heisenberg group we obtain a representation of the mapping class group that is twisted by this action. For the linearisation of the affine translation action of the Heisenberg group we obtain a genuine, untwisted representation of the mapping class group. In the case of the generic Schrödinger representation, by composing with a Stone-von Neumann isomorphism we obtain a projective representation by bounded operators on a Hilbert space, which lifts to a representation of the stably universal central extension of the mapping class group. We also discuss the finite dimensional Schrödinger representations, especially in the even case. Based on a natural intersection pairing, we show that our representations preserve a sesquilinear form.

研究动机与目标

• 通过使用非交换局部系统，将 Lawrence-Krammer-Bigelow 表示推广至高亏格曲面。
• 克服阿贝尔局部系统在非平面曲面上无法检测完整 writhe 信息的局限性。
• 利用离散海森堡群作为局部系统的基底，构造映射类群的忠实、有限维表示。
• 通过 Sroedinger 表示及其在中心扩张上的提升，探索所得表示的忠实性与线性性。

提出的方法

• 将离散海森堡群 $\mathcal{H}(\Sigma)$ 视为曲面 braid 群 $\pi_1(\mathcal{C}_n(\Sigma))$ 的商群，以保留非交换 writhe 信息。
• 通过 $\mathcal{H}(\Sigma)$ 的表示在配置空间 $\mathcal{C}_n(\Sigma_{g,1})$ 上定义局部系统，从而实现扭曲同调作用。
• 从海森堡群的一般表示出发，构造映射类群 $\mathfrak{M}(\Sigma_{g,1})$ 的扭曲表示。
• 对于海森堡群的仿射平移作用的线性化，获得 $\mathfrak{M}(\Sigma_{g,1})$ 的真实非扭曲表示。
• 对 Sroedinger 表示应用 Stone-von Neumann 同构，得到 $\mathfrak{M}(\Sigma_{g,1})$ 的射影酉表示。
• 将此射影表示提升为 $\mathfrak{M}(\Sigma_{g,1})$ 的稳定普遍中心扩张的酉表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过非交换局部系统将 Lawrence-Krammer-Bigelow 构造推广至高亏格曲面？
• RQ2 曲面 braid 群的海森堡商群是否保留了足够的拓扑信息，以检测几何交点并支持忠实表示？
• RQ3 海森堡群的 Sroedinger 表示是否可通过同调方法导出映射类群的酉表示？
• RQ4 当使用海森堡局部系统时，映射类群在配置空间扭曲同调上的作用是否忠实？
• RQ5 所得表示能否被提升为映射类群中心扩张的酉表示？

主要发现

• 作者从离散海森堡群 $\mathcal{H}(\Sigma)$ 的任意表示出发，构造了映射类群 $\mathfrak{M}(\Sigma_{g,1})$ 的扭曲表示。
• 对于海森堡群仿射平移作用的线性化，他们获得了 $\mathfrak{M}(\Sigma_{g,1})$ 的真实非扭曲表示。
• 通过与 Stone-von Neumann 同构复合，他们在 Sroedinger 表示情形下获得了 $\mathfrak{M}(\Sigma_{g,1})$ 的射影酉表示。
• 该射影表示可被提升为 $\mathfrak{M}(\Sigma_{g,1})$ 的稳定普遍中心扩张的酉表示。
• 该构造避免了阿贝尔局部系统在非平面曲面上仅能检测 writhe 模 2 信息的损失。
• 本文推测，可通过一个关键引理（关联同调上的代数与几何交形式）证明表示的忠实性。