[论文解读] Heisenberg invariant quartics and SU_C(2) for a curve of genus four

W. M. Oxbury, Christian Pauly|ArXiv.org|Mar 21, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 16

一句话总结

本文研究了在亏格 4 曲线 $C$ 上，秩为 2 且行列式为平凡的半稳定向量丛的模空间 $Σ_C(2)$ 的几何结构，证明其在映射 $φ: Sigma_C(2) \to |2 heta|$ 下的像位于 $\mathbb{P}^{15}$ 中唯一的不可约 Heisenberg 不变四次曲面 $Q_C$ 的奇异点集中。关键结果表明，当 $C$ 不具有零 theta 空间时，$Q_C$ 存在且唯一，该结论基于三次正规性与 Verlinde 公式论证，对高阶切触簇与通过限制到 $|2 heta|$ 子空间的 Prym 丛的结构具有重要意义。

ABSTRACT

If C is a curve of genus 4 without vanishing theta-nulls then there exists a unique (irreducible) Heisenberg-invariant quartic Q_C in |2Θ| = P^{15} such that Sing Q_C contains the image of SU_C(2), the moduli space of rank 2 vector bundles with trivial determinant. Moreover, in each eigen-P^7 of the Heisenberg action on |2Θ|, Q_C restricts to the classical Coble quartic of the corresponding Prym-Kummer variety. We compare Q_C with the hypersurface G_3 in |2Θ| of divisors containing a translate of C in J(C), and show that in the eigen-P^7s G_3 recovers Beauville--Debarre's quadrisecant planes of the Prym-Kummers (this works for any genus). Using the Recillas construction this enables us to deduce, contrary to the analogous result for genus 3, that Q_C and G_3 are distinct.

研究动机与目标

• 将 Narasimhan–Ramanan 对亏格 2 和 3 曲线的 $\mathcal{SU}_C(2)$ 结果推广至亏格 4。
• 通过 Heisenberg 不变四次曲面刻画 $\phi(\mathcal{SU}_C(2))$ 在 $|2\Theta| \cong \mathbb{P}^{15}$ 中的像。
• 研究 $\phi(\mathcal{SU}_C(2))$ 是否与一个典范四次曲面 $Q_C$ 的奇异点集重合，类似于亏格 3 中的 Coble 四次曲面。
• 分析 $\mathcal{SU}_C(2)$ 与由 $W_{g-d}$ 的平移生成的 Heisenberg 不变簇 $G_d \subset |2\Theta|$ 之间的关系。
• 通过 Recillas 对应关系，研究 $Q_C$ 与 $G_3$ 在 Prym 丛 $P_\eta$ 上的限制，并与已知的切触平面结构进行比较。

提出的方法

• 利用几何与上同调技术，证明 $\phi(\mathcal{SU}_C(2))$ 在 $\mathbb{P}^{15}$ 中的三次正规性。
• 应用 Verlinde 公式，证明 $\phi(\mathcal{SU}_C(2))$ 的理想中恰好有十六个线性无关的三次齐次多项式。
• 利用 Heisenberg 作用的对称性，推断这些三次多项式是单个不可约四次曲面 $Q_C$ 的偏导数，从而确立其唯一性。
• 将全空间 $|2\Theta| \cong \mathbb{P}^{15}$ 限制到 $J_C[2]$ 作用下的特征平面 $|2\Xi| \subset \mathbb{P}^7$，将其识别为 Prym 丛的 $|2\Theta|$。
• 利用 Beauville–Debarre 对 Prym Kummer 曲面的四阶割平面结果，比较 $G_3$ 与 $Q_C$ 在 $|2\Xi|$ 上的限制，表明二者不同。
• 构造一个滤子 $\mathrm{Kum}(J) \subset G_2 \subset \phi(\mathcal{SU}_C(2)) \subset G_3 \subset \mathbb{P}^{15}$，其中 $G_2$ 是由 4-平面生成的超曲面，$G_3$ 是由 10-平面生成的超曲面，且相对于任意 theta 特征标共轭。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于一个无零 theta 空间且非双全纯的亏格 4 曲线 $C$，是否存在唯一的不可约 Heisenberg 不变四次曲面 $Q_C \subset \mathbb{P}^{15}$，使得 $\phi(\mathcal{SU}_C(2))$ 位于其奇异点集中？
• RQ2 $\phi(\mathcal{SU}_C(2))$ 是否等于 $Q_C$ 的奇异点集，即其理想是否由三次多项式生成？
• RQ3 在亏格 4 中，由 $W_{g-d}$ 的平移生成的簇 $G_d \subset |2\Theta|$ 如何与 $\mathcal{SU}_C(2)$ 和 $Q_C$ 相关联？
• RQ4 在与 2-挠点 $\eta \in J_C[2]$ 关联的 Prym 丛 $P_\eta$ 上，$Q_C$ 与 $G_3$ 限制到 $|2\Xi|$ 时的行为如何？
• RQ5 对于亏格 3 的 Prym 丛，已知存在四阶割平面，这些平面是否与 $G_3$ 限制到 $|2\Xi|$ 的结果一致？

主要发现

• 对于一个非双全纯且无零 theta 空间的亏格 4 曲线 $C$，存在唯一的不可约 Heisenberg 不变四次曲面 $Q_C \subset \mathbb{P}^{15}$，使得 $\phi(\mathcal{SU}_C(2)) \subset \mathrm{Sing}(Q_C)$。
• $\phi(\mathcal{SU}_C(2))$ 在 $\mathbb{P}^{15}$ 中是三次正规的，Verlinde 公式表明恰好有十六个线性无关的三次多项式在其上消失。
• 这些三次多项式是单个四次曲面 $Q_C$ 的偏导数，因此 $Q_C$ 唯一且不可约。
• $Q_C$ 限制到每个 $|2\Xi| \subset \mathbb{P}^{15}$（在 $\eta \in J_C[2]$ 作用下固定）即为 Prym Kummer 曲面 $\mathrm{Kum}(P_\eta)$ 的 Coble 四次曲面。
• $G_3$ 限制到 $|2\Xi|$ 是由 $\mathrm{Kum}(P_\eta)$ 的四参数族四阶割平面生成的超曲面，与 Coble 四次曲面不同。
• 滤子 $\mathrm{Kum}(J) \subset G_2 \subset \phi(\mathcal{SU}_C(2)) \subset G_3 \subset \mathbb{P}^{15}$ 成立，其中 $G_2$ 是由 4-平面生成的超曲面，$G_3$ 是由 10-平面生成的超曲面，且相对于任意 theta 特征标共轭。