[论文解读] Heisenberg VOAs over Fields of Prime Characteristic and Their Representations

Haisheng Li, Qiang Mu|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用 6

一句话总结

本文研究在素数特征下的海森堡顶点代数，此时它们不再为单代数，并构造了一族单商顶点代数 $L_{\widehat{\mathfrak{h}}}(\ell,0,\lambda)$。证明了这些代数上的每个模都是完全可约的，且伴随模是同构意义下的唯一不可约模，从而在正特征下建立了仿射海森堡李代数某类模的完全可约性定理。

ABSTRACT

In this paper, we study Heisenberg vertex algebras over fields of prime characteristic. The new feature is that the Heisenberg vertex algebras are no longer simple unlike in the case of characteristic zero. We then study a family of simple quotient vertex algebras and we show that for each such simple quotient vertex algebra, irreducible modules are unique up to isomorphism and every module is completely reducible. To achieve our goal, we also establish a complete reducibility theorem for a certain category of modules over Heisenberg algebras.

研究动机与目标

• 研究在素特征下海森堡顶点代数的结构，此时它们不再为单代数，与特征零情形不同。
• 通过商去最大 $\widehat{\mathfrak{h}}$-子模，从 $V_{\widehat{\mathfrak{h}}}(\ell,0)$ 构造并分类单商顶点代数 $L_{\widehat{\mathfrak{h}}}(\ell,0,\lambda)$。
• 在正特征下，为仿射海森堡李代数某类模建立完全可约性定理。
• 分析单商顶点代数的表示理论，特别是其模的完全可约性与不可约模的唯一性。

提出的方法

• 将顶点代数 $V_{\widehat{\mathfrak{h}}}(\ell,0)$ 定义为由真空向量 $\mathbf{1}$ 生成的 $\widehat{\mathfrak{h}}$-模，满足 $\mathbf{k} \cdot \mathbf{1} = \ell \mathbf{1}$ 且 $(\mathfrak{h} \otimes \mathbb{F}[t]) \mathbf{1} = 0$。
• 利用泛函 $\lambda \in (\widehat{\mathfrak{h}}_+)^*$ 构造最大 $\widehat{\mathfrak{h}}$-子模 $J(\lambda)$，其生成元为 $u(-np) - \lambda(u(-np))$ 与 $(u(-n) - \lambda(u(-n)))^p$，其中 $u \in \mathfrak{h}, n \geq 1$。
• 证明 $J(\lambda)$ 是最大 $\widehat{\mathfrak{h}}$-子模，且当且仅当对所有 $n \geq 2$ 有 $\lambda(u(-n)) = 0$ 时，它才是顶点代数理想，从而得到单商代数 $L_{\widehat{\mathfrak{h}}}(\ell,0,\lambda)$。
• 使用 Segal-Sugawara 构造定义共形向量 $\omega = \frac{1}{2\ell} \sum_{i=1}^d u^{(i)}(-1)u^{(i)}(-1)\mathbf{1}$，使 $V_{\widehat{\mathfrak{h}}}(\ell,0)$ 成为中心荷为 $d = \dim \mathfrak{h}$ 的顶点算子代数。
• 通过分析海森堡子代数 $\widehat{\mathfrak{h}}'' = \sum_{n \notin p\mathbb{Z}} \mathfrak{h} \otimes \mathbb{F}t^n + \mathbb{F}\mathbf{k}$ 的作用，建立 $\widehat{\mathfrak{h}}$-模的完全可约性定理。
• 利用 $\mathbb{Z}$-分次结构与 $L(0)$-特征值分解，分析 $L_{\widehat{\mathfrak{h}}}(\ell,0,\lambda)$ 的分次结构，证明 $J(\ell,\lambda)$ 是 $L(0)$-不变的，从而在 $\lambda \neq 0$ 时诱导出 $\mathbb{Z}_p$-分次。

实验结果

研究问题

• RQ1 在素特征下，海森堡顶点代数与特征零情形相比，在单性与结构上有哪些不同？
• RQ2 顶点代数 $V_{\widehat{\mathfrak{h}}}(\ell,0)$ 的最大 $\widehat{\mathfrak{h}}$-子模是什么？它们在何时构成顶点代数理想？
• RQ3 单商顶点代数 $L_{\widehat{\mathfrak{h}}}(\ell,0,\lambda)$ 的表示理论如何，特别是其模的完全可约性与不可约模的唯一性？
• RQ4 仿射海森堡代数 $\widehat{\mathfrak{h}}'$ 中无限维中心的存在如何影响正特征下的表示理论？
• RQ5 是否可以在素特征下为仿射海森堡李代数的模建立完全可约性定理？它如何支持顶点代数表示的结构？

主要发现

• 在素特征下，顶点代数 $V_{\widehat{\mathfrak{h}}}(\ell,0)$ 不是单代数，因为其包含无穷多个最大理想，这是由于 $\widehat{\mathfrak{h}}'$ 的无限维中心所致。
• 最大 $\widehat{\mathfrak{h}}$-子模 $J(\lambda)$ 由 $u(-np) - \lambda(u(-np))$ 与 $(u(-n) - \lambda(u(-n)))^p$（$u \in \mathfrak{h}, n \geq 1$）生成，且穷尽了所有最大 $\widehat{\mathfrak{h}}$-子模。
• 当且仅当对所有 $u \in \mathfrak{h}$ 与 $n \geq 2$ 有 $\lambda(u(-n)) = 0$ 时，商代数 $L_{\widehat{\mathfrak{h}}}(\ell,0,\lambda)$ 是单顶点代数，这确保了 $J(\lambda)$ 是顶点代数理想。
• 每个 $L_{\widehat{\mathfrak{h}}}(\ell,0,\lambda)$-模都是完全可约的，这是通过关联 $\widehat{\mathfrak{h}}$-模类别上的完全可约性定理建立的。
• 伴随模 $L_{\widehat{\mathfrak{h}}}(\ell,0,\lambda)$ 是同构意义下的唯一不可约模，意味着所有不可约模都与伴随模同构。
• 当 $\ell \in \mathbb{F}^\times$ 时，商代数 $L_{\widehat{\mathfrak{h}}}(\ell,0,0)$ 是中心荷为 $d = \dim \mathfrak{h}$ 的单顶点算子代数，而当 $\lambda \neq 0$ 时，$L_{\widehat{\mathfrak{h}}}(\ell,0,\lambda)$ 不是顶点算子代数，因为 $J(\ell,\lambda)$ 不保持分次结构。