[论文解读] Herdability of Linear Systems Based on Sign Patterns and Graph Structures

Sebastian F. Ruf, Magnus Egerstedt+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2019

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 45被引用 4

一句话总结

本文引入了群体可及性（herdability）作为连续时间线性时不变（LTI）系统的一种基于集合的可达性条件，用于判断是否能够将所有状态分量驱动至非负阈值以上。通过图结构和可控性矩阵的符号模式，建立了基于符号的充分条件，实现无需精确边权重的结构性分析。

ABSTRACT

We consider the notion of herdability, a set-based reachability condition, which asks whether the state of a system can be controlled to be element-wise larger than a non-negative threshold. First a number of foundational results on herdability of a continuous time, linear time invariant system are presented. These show that the herdability of a linear system can be determined based on certain matrices, such as the controllability matrix, which arise in the study of controllability of linear systems. Second, the relationship between the sign pattern of the underlying graph structure of a system and the herdability properties of the system is investigated. In doing so the notion of sign herdability is introduced which captures classes of systems whose sign pattern determines their herdability. We identify a set of conditions, first on the sign pattern of the controllability matrix and then on the underlying graph structure, that ensure that the system is sign herdable.

研究动机与目标

• 将群体可及性形式化为一种基于集合的可达性条件，要求所有状态分量超过非负阈值，而非实现完全可控性。
• 研究系统矩阵A和B的符号模式以及底层图结构如何在不依赖精确边权重的情况下决定群体可及性。
• 基于可控性矩阵的符号结构和基于图的可达性路径，提出完全群体可及性的充分条件。
• 通过分析有向图中正负路径贡献，将结构可控性概念扩展至群体可及性。
• 根据网络拓扑中结构平衡性和路径符号一致性，识别出属于符号群体可及性的系统类别。

提出的方法

• 将群体可及性定义为：通过控制输入，使所有状态分量高于阈值 d ≥ 0，且不依赖完全可控性。
• 利用可控性矩阵 C 及其符号模式，推导出群体可及性的充分条件，重点关注从输入到状态的路径上列符号的一致性。
• 引入集合 𝒩_d^j 和 𝒫_d^j，根据从输入 u_j 到状态 x_i 的所有长度为 d 的路径的净符号，对节点进行分类。
• 当从某一输入到某一状态的所有路径符号一致时，定义为符号严格群体可及性，确保影响的单调性。
• 引入节点的符号平衡性，即通过符号严格群体可及的节点平衡冲突路径，从而实现更广泛的群体可及性分析。
• 提供基于图遍历计算 𝒩_d^j 和 𝒫_d^j 的算法，DAG 情况下时间复杂度为线性，其他情况为指数级。

实验结果

研究问题

• RQ1 在可控性矩阵的符号模式满足何种条件时，线性系统可实现完全群体可及性？
• RQ2 系统底层图结构如何在不依赖边权重大小的情况下影响其群体可及性？
• RQ3 是否可仅基于系统矩阵 A 和 B 的符号结构判断群体可及性？若可，需满足何种结构假设？
• RQ4 图中的结构平衡性在决定符号群体可及性中起何种作用？它如何简化分析？
• RQ5 基于有向路径符号遍历验证群体可及性的计算复杂度如何？

主要发现

• 线性系统的群体可及性可通过分析可控性矩阵 C 的符号模式来确定，列符号一致表明具有潜在群体可及性。
• 若每个状态节点均为符号严格群体可及（所有从输入出发的路径符号一致），或符号平衡（冲突路径被符号严格群体可及节点主导），则系统为完全符号群体可及。
• 定理 9 提供了完全符号群体可及性的充分条件：对每个状态节点，存在一个输入和距离 d，使得该节点仅通过正路径或仅通过负路径可达。
• 定理 10 将此扩展至符号平衡节点，表明若所有节点均被符号严格群体可及节点所平衡，则系统为完全符号群体可及。
• 对于有向无环图（DAG），集合 𝒩_d^j 和 𝒫_d^j 可在时间复杂度为线性的条件下计算，从而实现高效的群体可及性验证。
• 在非DAG中，由于需枚举所有路径，计算可能需要指数时间，因此在稀疏或无环拓扑中才具备实际可扩展性。