[论文解读] Hereditarily and Super Bassian Modules over Certain Rings

Peter Danchev, Truong Cong Quynh+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2026

Rings, Modules, and Algebras被引用 0

一句话总结

该论文在非原始 Dedekind prime 环及相关环上表征模的何时为继承 Bassian 或超 Bassian，建立结构性标准并将奇异性、主成分与有限生成子模联系起来。

ABSTRACT

We characterize in certain basic cases when a module over a ring is either {\it hereditarily Bassian} or {\it super Bassian} in the sense that either each its proper submodule is Bassian or, respectively, each its proper epimorphic image is Bassian. We prove several structural criteria for both hereditarily Bassian and super Bassian modules over non-primitive Dedekind prime rings, and in particular Dedekind domains. Over these rings, we establish that a singular module is super Bassian exactly when it is Bassian, which is true if and only if it is Bassian. In addition, for an arbitrary (not necessarily singular) module over a non-primitive Dedekind prime ring, the property of being super Bassian curiously implies the property of being hereditary Bassian always. Our results somewhat continue and supply recent results due to Tuganbaev in Mathematics (2026) and Blacher in J. Algebra (2026).

研究动机与目标

• 在非原始 Dedekind prime rings 与主理想域等情形下，引入并形式化 Bassian、super Bassian、hereditarily Bassian 模块的概念及其动机。
• 确定在什么结构条件下模是 super Bassian 或 hereditary Bassian。
• 探讨奇异分量与主分量如何影响这些设定下的 Bassian 性质。
• 提供与现有结果的联系，并扩展对非交换与交换环中 Bassian 型性质的理解。

提出的方法

• 引入并使用 Bassian、generalized Bassian、super Bassian 及相关模理论概念。
• 给出将 super Bassian 性质与存在有限生成的非奇异子模及其奇异商及其主分量控制相关联的标准。
• 证明在非原始 Dedekind prime rings 上的模的等价关系与推论，包括主分量的作用与有限生成。
• 利用注入包络、奇异子模与 Goldie 维数论证推导 Bassian 型结果。
• 应用文献中的已知结果（如 [7]）以推断商的 Bassian 性质及子模的性质。
• 给出交换情形（Dedekind 域）的推论并通过实例说明属性的独立性。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个模在非原始 Dedekind prime ring 上何时是 super Bassian 或 hereditary Bassian？
• RQ2 哪些有限生成性与奇异性条件在子商模上能够表征这些环中的 super Bassian 模？
• RQ3 Singular 子模的主分量如何影响 Dedekind prime rings 上模的 Bassian 性质？
• RQ4 结果是否可推广到交换情形如 Dedekind 域或 Abelian 群，且与现有发现如何联系？
• RQ5 在某些假设下（如奇异模、半局环），super Bassian 与 hereditary Bassian 性质是否一致？

主要发现

• 在非原始 Dedekind prime rings 上，super Bassian 等价于存在一个有限生成的非奇异子模，其奇异商的主分量也是有限生成（或 Noetherian）。
• 在此类环上，奇异模恰好为 Bassian 时也是 super Bassian；等价地，Bassian ⇔ 奇异且所有主分量有限生成。
• 在非原始 Dedekind prime rings 上，非必然奇异的模若为 super Bassian，则它也是 hereditary Bassian。
• 在半局环且 Jacobson 理性子环为零的情况下，模若为 hereditary Bassian 当且仅当其 socle 为有限生成。
• 对于 Dedekind 域上的模，super Bassian 的特征在于存在一个有限生成的有 torsion 的子模，其 torsion 商的主分量有限生成。