[论文解读] Hereditarily non-topologizable groups

Gábor Lukács|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2006

Advanced Topology and Set Theory参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文研究了遗传非拓扑化的群——即所有子商群均为非拓扑化的群——并确立了其与可数离散群中 c-紧致性之间的等价性。研究证明此类群必为有限群，从而解决了拓扑群理论中长期存在的问题，并将群论性质与拓扑空间中的紧致性联系起来。

ABSTRACT

A group G is non-topologizable if the only Hausdorff group topology that G admits is the discrete one. Is there an infinite group G such that H/N is non-topologizable for every subgroup H <= G and every normal subgroup N

研究动机与目标

• 确定是否存在无限的遗传非拓扑化群。
• 将此类群的存在性与拓扑群中 c-紧致性这一开放问题联系起来。
• 利用换位列和有限指数子群，建立遗传非拓扑化群的代数约束。
• 证明可数遗传非拓扑化群为有限群，从而解决 c-紧致性问题的一个特例。

提出的方法

• 利用 Dikranjan 和 Uspenskij 的结果，推导出在可数离散群中，c-紧致性与遗传非拓扑化性之间的等价性。
• 在阿贝尔商群上应用 Bohr 拓扑，证明仅有有限阿贝尔群可赋予离散拓扑作为其唯一的豪斯多夫群拓扑。
• 通过子商群的有限余群构造，证明所有有限指数正规子群的交具有有限指数。
• 利用换位列的归纳法，证明任意子群的换位列长度为有限，且换位列最终稳定。
• 利用在遗传非拓扑化群中，任意子商群上唯一的豪斯多夫群拓扑为离散拓扑这一事实。
• 应用 Kuratowski-Mrówka 定理及 SIN 群的性质，将 c-紧致性问题约化至可数离散情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个无限群，使得其所有子商群均为非拓扑化的？
• RQ2 每个可数遗传非拓扑化群是否必为有限群？
• RQ3 遗传非拓扑化群与拓扑群中的 c-紧致性有何关联？
• RQ4 遗传非拓扑化群必然具有何种代数结构？
• RQ5 能否将局部紧致 SIN 群的 c-紧致性约化至可数离散情形？

主要发现

• 一个可数离散群是 c-compact 当且仅当它是遗传非拓扑化的。
• 每个遗传非拓扑化群均存在一个最小的有限指数正规子群，且该子群等于其自身的换位子群。
• 对于遗传非拓扑化群的任意子群 H，其换位列 H^(k) 对所有 k ∈ ℕ 均在 H 中具有有限指数。
• 任意子群的换位列在有限步后稳定，即存在某个 n ∈ ℕ，使得 H^(n) = H^(n+1)。
• 若子群 H 是可解的，则 H 必为有限群，因为其不可能存在无限的换位列下降链。
• 若存在无限的遗传非拓扑化群，将意味着存在一个无限的 c-紧致群但非紧致，这与可数情形下的已知等价性矛盾。