[论文解读] Herglotz' variational principle and Lax-Oleinik evolution

Piermarco Cannarsa, Wei Cheng+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 41被引用 4

一句话总结

本文在时变、非自治设定下，通过广义 du Bois-Reymond 引理推导出 Herglotz 变分原理中极小化元的 Lipschitz 正则性估计，以及 Erdmann 条件和 Euler-Lagrange 方程。此外，还通过 Lax-Oleinik 演化给出了 Hamilton-Jacobi 方程粘性解的表示公式，将理论推广至具有整体存在性与正则性结果的黎曼流形。

ABSTRACT

We develop an elementary method to give a Lipschitz estimate for the minimizers in the problem of Herglotz' variational principle proposed in \cite{CCWY2018} in the time-dependent case. We deduce Erdmann's condition and the Euler-Lagrange equation separately under different sets of assumptions, by using a generalized du Bois-Reymond lemma. As an application, we obtain a representation formula for the viscosity solution of the Cauchy problem for the Hamilton-Jacobi equation \begin{align*} D_tu(t,x)+H(t,x,D_xu(t,x),u(t,x))=0 \end{align*} and study the related Lax-Oleinik evolution.

研究动机与目标

• 在时变情形下，建立 Herglotz 变分原理中极小化元的 Lipschitz 正则性估计。
• 在不同假设下，利用广义 du Bois-Reymond 引理推导 Erdmann 条件与 Euler-Lagrange 方程。
• 为 Hamilton-Jacobi 方程的柯西问题的粘性解提供一个表示公式。
• 将极小化元的存在性与正则性理论从欧氏区域推广至紧致、连通且闭合的 C² 黎曼流形。
• 分析在具有全局与局部几何约束的 Herglotz 变分原理背景下，Lax-Oleinik 演化的角色。

提出的方法

• 采用广义 du Bois-Reymond 引理推导最优性必要条件，包括 Erdmann 条件与 Euler-Lagrange 方程。
• 论文利用基于拉格朗日函数 L 的结构性假设（如超线性增长与有界导数）所导出的极小化元的先验 Lipschitz 估计。
• 通过将时间区间分段并利用正常坐标图的有限图册，采用局部到整体的论证方法，将整体问题转化为局部问题。
• 通过动态规划原理，利用局部基本解的下确界卷积构造 Lax-Oleinik 演化。
• 在紧致流形上，通过紧致性与拟凹性论证证明极小化元的存在性，利用状态与速度轨迹的统一有界性。
• 通过在分段 C¹ 曲线上取下确界表示粘性解，其中值泛函通过沿每条曲线求解 Carathéodory 型常微分方程来定义。

实验结果

研究问题

• RQ1 在时变设定下，Herglotz 变分原理的极小化元在何种条件下保持 Lipschitz 连续？
• RQ2 如何在不同假设下，利用广义 du Bois-Reymond 引理独立推导 Erdmann 条件与 Euler-Lagrange 方程？
• RQ3 在 Herglotz 原理背景下，Hamilton-Jacobi 方程的粘性解通过 Lax-Oleinik 公式的精确表示是什么？
• RQ4 如何将极小化元的存在性与正则性理论从欧氏定义域推广至紧致黎曼流形？
• RQ5 局部坐标图结构与“折线测地线”论证在黎曼流形上构造全局极小化元的过程中起什么作用？

主要发现

• 建立了极小化元速度的统一 Lipschitz 估计，其界仅依赖于时间区间、初始值 u 以及流形的几何结构。
• 极小化元在局部坐标下满足 Herglotz 方程，且当 L 为 C² 时，共轭弧 p(s) = L_v 为 C²。
• Hamilton-Jacobi 方程的粘性解通过 Lax-Oleinik 公式表示为在分段 C¹ 曲线上的下确界，其中包含状态与控制约束。
• 基本解 h_L 局部拟凹，且由于状态与控制轨迹的紧致性，Lax-Oleinik 公式中的下确界可达到。
• 在紧致黎曼流形上，全局极小化元存在且为 C¹-Lipschitz，|u_ξ(s)| 与 |ẋ(s)| 的界仅依赖于 u、x、y 与时间区间。
• Lax-Oleinik 演化在全局范围内定义良好且拟凹，值函数在粘性意义下满足 Hamilton-Jacobi 方程。