[论文解读] Hermite-Hadamard-Fejer type inequalities for convex functions via fractional integrals

İmdat Işcan|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2014

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 12被引用 67

一句话总结

本文利用黎曼-刘维尔分数阶积分，建立了凸函数的赫尔梅特-哈达玛-费耶尔型不等式，将经典不等式推广至分数阶微积分领域。研究推导了涉及对称权函数的新积分恒等式与界，通过霍尔德不等式与凸性性质，对分数阶积分的显式估计进行了推广。

ABSTRACT

In this paper, firstly we have established Hermite--Hadamard-Fejér inequality for fractional integrals. Secondly, an integral identity and some Hermite-Hadamard-Fejer type integral inequalities for the fractional integrals have been obtained. The some results presented here would provide extensions of those given in earlier works.

研究动机与目标

• 将经典赫尔梅特-哈达玛-费耶尔不等式通过黎曼-刘维尔算子推广至分数阶积分形式。
• 为具有对称权函数的凸函数，建立涉及分数阶积分的新积分恒等式。
• 推导分数阶积分均值与中点/端点值之间偏差的精确上界。
• 通过引入可积且对称的权函数，推广现有的分数阶赫尔梅特-哈达玛不等式。
• 利用霍尔德不等式与导数绝对值的凸性，提供定量估计。

提出的方法

• 通过黎曼-刘维尔定义与变量替换，推导出涉及分数阶积分的恒等式，表达加权均值与函数值之间差异。
• 应用霍尔德不等式，对包含函数导数与权函数的积分表达式进行有界控制。
• 利用权函数 $ g $ 关于 $ (a+b)/2 $ 的对称性，简化涉及 $ J_{a+}^{ u}g(b) $ 与 $ J_{b-}^{ u}g(a) $ 的表达式。
• 利用 $ |f'|^q $ 的凸性与不等式 $ (A-B)^q \leq A^q - B^q $（其中 $ A \geq B \geq 0 $，$ q \geq 1 $）对所得积分进行有界控制。
• 通过代换 $ t \in [0,1] $ 将 $[a, b]$ 上的积分转化为标准形式，从而利用贝塔函数恒等式进行计算。
• 利用不等式 $ |a^\alpha - b^\alpha| \leq (b-a)^\alpha $（其中 $ 0 < \alpha \leq 1 $）控制最终估计中权函数的范数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过凸函数与对称权函数，将赫尔梅特-哈达玛-费耶尔不等式推广至分数阶积分？
• RQ2 连接分数阶积分均值与函数导数及对称权函数的积分恒等式是什么？
• RQ3 分数阶积分均值与中点及端点值之间偏差的精确上界是什么？
• RQ4 霍尔德不等式与 $ |f'|^q $ 的凸性如何改进分数阶费耶尔型不等式的估计？
• RQ5 当 $ \alpha = 1 $ 时，边界有何变化？其与文献中已知结果的关系如何？

主要发现

• 本文证明了分数阶赫尔梅特-哈达玛-费耶尔不等式：$ f\left(\frac{a+b}{2}\right) \left[J_{a+}^{\alpha}g(b) + J_{b-}^{\alpha}g(a)\right] \leq \left[J_{a+}^{\alpha}(fg)(b) + J_{b-}^{\alpha}(fg)(a)\right] \leq \frac{f(a)+f(b)}{2} \left[J_{a+}^{\alpha}g(b) + J_{b-}^{\alpha}g(a)\right] $，其中 $ \alpha > 0 $。
• 对于具有凸性 $ |f'|^q $ 且 $ g $ 对称连续的可微函数 $ f $，有界 $ \left| \left(\frac{f(a)+f(b)}{2}\right) \left[J_{a+}^{\alpha}g(b) + J_{b-}^{\alpha}g(a)\right] - \left[J_{a+}^{\alpha}(fg)(b) + J_{b-}^{\alpha}(fg)(a)\right] \right| \leq \frac{2^{1/p}\|g\|_{\infty}(b-a)^{\alpha+1}}{(α p+1)^{1/p}\Gamma(\alpha+1)} \left(1 - \frac{1}{2^{\alpha p}}\right)^{1/p} \left(\frac{|f'(a)|^q + |f'(b)|^q}{2}\right)^{1/q} $，其中 $ \alpha > 0 $，$ q > 1 $，$ 1/p + 1/q = 1 $。
• 推导出另一组界：$ \leq \frac{\|g\|_{\infty}(b-a)^{\alpha+1}}{(α p+1)^{1/p}\Gamma(\alpha+1)} \left(\frac{|f'(a)|^q + |f'(b)|^q}{2}\right)^{1/q} $，适用于 $ 0 < \alpha \leq 1 $。
• 这些界在精确意义上是紧的，因为当 $ \alpha = 1 $ 时，它们退化为已知结果，与 [17, 推论 13] 一致。
• 引理 4 中的积分恒等式将偏差表示为 $ \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_a^b \left| \int_t^{a+b-t} (b-s)^{\alpha-1} g(s) ds \right| |f'(t)| dt $，从而可应用霍尔德不等式。
• 利用不等式 $ (A-B)^q \leq A^q - B^q $（其中 $ A \geq B \geq 0 $，$ q \geq 1 $）可对积分中核项实现逐点控制。