[论文解读] Hermite-Hadamard's inequalities for preinvex functions via fractional integrals and related fractional inequalities

İmdat Işcan|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2012

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 11被引用 11

一句话总结

本文利用黎曼-刘维尔分数阶积分，建立了预拟凸函数的赫尔梅特-哈达玛类型不等式，将经典结果推广至更广泛的函数类。通过利用赫尔德不等式和预拟凸性性质，推导出函数端点值平均与分数阶积分平均之间偏差的精确界，关键结果涉及分数阶参数 α 和共轭指数 q。

ABSTRACT

In this paper, first we have established Hermite- Hadamard's inequalities for preinvex functions via fractional integrals. Second we extend some estimates of the right side of a Hermite- Hadamard type inequality for preinvex functions via fractional integrals.

研究动机与目标

• 将凸函数的经典赫尔梅特-哈达玛不等式推广至使用分数阶微积分的预拟凸函数情形。
• 为预拟凸函数建立涉及黎曼-刘维尔积分的新分数阶积分不等式。
• 改进函数端点值平均与分数阶积分平均之间差值的估计。
• 将先前关于凸函数的结果（如 Sarıkaya 等人的工作）推广至更一般的预拟凸函数类。
• 研究函数 η 和条件 C 在预拟凸性假设下推导精确界时的作用。

提出的方法

• 引入一个分数阶积分恒等式（引理 1），将 f(a) 与 f(b) 的平均值和分数阶积分平均之间的差值联系起来。
• 应用赫尔德不等式，以有界 L1-范数形式估计分数阶积分恒等式中导数项的上界。
• 利用预拟凸性条件 |f′(a + tη(b,a))|^q ≤ (1−t)|f′(a)|^q + t|f′(b)|^q（t ∈ [0,1]）对导数项进行控制。
• 利用核 |t^α − (1−t)^α| 在 [0,1] 上的对称性，计算涉及 α 和 2^α 的积分。
• 以 Γ(α+1)、η(b,a) 和端点处导数的 Lq-范数表示边界。
• 应用共轭指数关系 1/p + 1/q = 1 以优化赫尔德估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用分数阶积分将赫尔梅特-哈达玛不等式从凸函数推广至预拟凸函数？
• RQ2 在预拟凸性假设下，f(a) 与 f(b) 的平均值和分数阶积分平均之间差值的精确界是什么？
• RQ3 η 的选择如何影响预拟凸函数的分数阶积分不等式结果？
• RQ4 分数阶积分公式中的参数 α 起什么作用？它如何影响边界？
• RQ5 经典不等式 (1.2) 是否可作为新分数阶预拟凸不等式的特例被恢复？

主要发现

• 本文通过黎曼-刘维尔分数阶积分，为预拟凸函数建立了新的赫尔梅特-哈达玛类型不等式，推广了经典结果。
• 当 α > 0 且 q > 1 时，若 |f′|^q 是预拟凸函数，则不等式 |(f(a) + f(a+η(b,a)))/2 − Γ(α+1)/(2η^α(b,a)) [J_{a+}^α f(a+η(b,a)) + J_{(a+η(b,a))−}^α f(a)]| ≤ η(b,a)/(α+1) (1 − 1/2^α) [(|f′(a)|^q + |f′(b)|^q)/2]^{1/q} 成立。
• 当 η(b,a) = b−a 且 α = 1 时，该边界退化为经典不等式 (1.2)，证实与先前工作的自洽性。
• 在预拟凸性假设及 η 满足条件 C 的前提下，该结果是精确的，条件 C 确保了不变性结构的保持。
• 使用共轭指数 p 和 q 的赫尔德不等式，相比简单的 L1 或 L∞ 估计，可获得更紧的界。
• 所导出的不等式对任意 α > 0 成立，将赫尔梅特-哈达玛类型估计的适用范围扩展至非凸但为 η-连通集上的预拟凸函数。