[论文解读] HERMITE-HADAMARD-TYPE INEQUALITIES VIA (ALPHA, M)-CONVEXITY

M. Emіn Özdemіr, Merve Avcı+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2011

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 3被引用 11

一句话总结

本文通过使用 Hölder 不等式和幂平均积分不等式，建立了关于其二阶导数的绝对值为 $(\alpha,m)$-凸函数的新 Hermite-Hadamard 型积分不等式。主要贡献在于引入一个涉及 Beta 函数以及参数 $\alpha$、$m$ 和 $q$ 的精确界，推广了经典凸函数与 $m$-凸函数的不等式。

ABSTRACT

In this paper, we establish some integral inequalities for functions whose second derivatives in absolute value are ({\\alpha},m)- convex.

研究动机与目标

• 将经典的 Hermite-Hadamard 不等式推广至二阶导数为 $(\alpha,m)$-凸的函数。
• 为函数值平均与积分均值之差提供更紧致的积分界。
• 通过统一的 $(\alpha,m)$-框架，推广先前关于 $m$-凸与 $\alpha$-凸函数的研究结果。
• 为 $|f''|^q$ 提供涉及 Beta 函数以及参数 $\alpha$、$m$ 和 $q$ 的显式界。
• 当 $\alpha = m = 1$ 时，将已知不等式（例如 Sarıkaya 和 Özdemir 等人的结果）作为特例恢复。

提出的方法

• 将先前工作中引理 1 的形式改编为涉及 $f(a) + f(mb)$ 与 $[a, mb]$ 上积分的新恒等式。
• 使用共轭指数 $p$ 和 $q$ 的 Hölder 积分不等式，其中 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$。
• 应用带权 $t(1-t)$ 的幂平均积分不等式，以界定 $|f''|$ 的积分。
• 利用 $|f''|^q$ 的 $(\alpha,m)$-凸性，对 $|f''(ta + m(1-t)b)|^q \leq t^\alpha |f''(a)|^q + m(1 - t^\alpha)|f''(b)|^q$ 进行上界控制。
• 利用 Beta 函数 $\beta(x,y) = \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1} dt$ 计算所得积分。
• 结合包含 $\left(\frac{1}{6}\right)^{1-1/q}$、$\left(\frac{1}{2}\right)^{1-1/q}$ 和 $\left(\frac{1}{p+1}\right)^{1/p}$ 的归一化因子。

实验结果

研究问题

• RQ1 Hermite-Hadamard 型不等式如何推广至二阶导数为 $(\alpha,m)$-凸的函数？
• RQ2 在 $|f''|^q$ 具有 $(\alpha,m)$-凸性时，差值 $\left|\frac{f(a)+f(mb)}{2} - \frac{1}{mb-a}\int_a^{mb} f(x)dx\right|$ 的最优界是什么？
• RQ3 Hölder 不等式与幂平均不等式所得界在紧致性及对 $\alpha$、$m$ 和 $q$ 的依赖性方面有何比较？
• RQ4 已知的 $m$-凸与凸函数不等式是否可作为所提框架的特例被恢复？
• RQ5 Beta 函数 $\beta(\alpha+1,q+1)$ 在刻画所导不等式紧致性方面起什么作用？

主要发现

• 定理 4 中的不等式给出了一个涉及 $\left(\frac{1}{6}\right)^{1-1/q}$、$\beta(\alpha+2,q+1)$ 以及 $|f''(a)|^q$、$|f''(b)|^q$ 的界，且包含 $m$-加权。
• 定理 5 利用 Hölder 不等式，得到一个包含 $\left(\frac{1}{p+1}\right)^{1/p}$ 和 $\beta(\alpha+1,q+1)$ 的界，其中 $p = \frac{q}{q-1}$。
• 定理 6 利用幂平均不等式，推导出一个包含 $\left(\frac{1}{2}\right)^{1-1/q}$ 和 $\beta(\alpha+2,q+1)$ 的界，改进了先前的估计。
• 当 $\alpha = m = 1$ 时，定理 4 的结果退化为 Özdemir 等人已知的不等式，验证了一致性。
• 当 $|f''| \leq K$ 时，推论 1 的界作为定理 4 在 $\alpha = m = 1$ 时的特例被恢复。
• 这些界在紧致性意义上是精确的，因为当 $\alpha = m = 1$ 且 $q=1$ 时，它们退化为经典的 Hermite-Hadamard 不等式。