[论文解读] Hermite interpolation and data processing errors on Riemannian matrix manifolds

Ralf Zimmermann|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2019

Statistical and numerical algorithms参考文献 36被引用 18

一句话总结

本文提出了一种在黎曼矩阵流形（如施蒂费尔流形）上进行的新型赫米特插值方法，仅使用黎曼指数映射和对数映射。该方法建立了与欧几里得赫米特插值的直接类比，计算成本更低，并推导出与截面曲率相关的通用误差界，通过在正交矩阵分解（如SVD和QR分解）上的数值实验得到验证。

ABSTRACT

The main contribution of this paper is twofold: On the one hand, a general framework for performing Hermite interpolation on Riemannian manifolds is presented. The method is applicable, if algorithms for the associated Riemannian exponential and logarithm mappings are available. This includes many of the matrix manifolds that arise in practical Riemannian computing application such as data analysis and signal processing, computer vision and image processing, structured matrix optimization problems and model reduction. On the other hand, we expose a natural relation between data processing errors and the sectional curvature of the manifold in question. This provides general error bounds for manifold data processing methods that rely on Riemannian normal coordinates. Numerical experiments are conducted for the compact Stiefel manifold of rectangular column-orthogonal matrices. As use cases, we compute Hermite interpolation curves for orthogonal matrix factorizations such as the singular value decomposition and the QR-decomposition.

研究动机与目标

• 开发一种适用于黎曼流形的一般性、计算高效的赫米特插值框架，无需依赖特殊的几何结构。
• 建立数据处理误差与底层流形截面曲率之间的理论联系。
• 实现在施蒂费尔流形等矩阵流形上的实用赫米特插值，适用于正交矩阵分解问题。
• 为依赖黎曼法坐标的数据处理方法提供误差界。
• 通过在施蒂费尔流形上使用SVD和QR分解作为用例的数值实验，展示该方法的有效性。

提出的方法

• 将黎曼流形上的赫米特插值表述为在离散时间点处，基于流形点及其切向量的C1曲线拟合问题。
• 利用黎曼指数映射和对数映射在法坐标系中构造局部插值曲线，确保C1连续性。
• 在参数空间中使用经典的三次赫米特基函数，通过黎曼指数映射映射到流形上，从而最小化所需的指数/对数映射计算次数。
• 将该方法应用于紧致施蒂费尔流形St(n,r)，通过高效的数值算法实现正交矩阵的插值。
• 通过将数据处理误差与流形的截面曲率关联，推导出通用误差界，特别针对使用法坐标的插值方法。
• 通过矩阵微分和算法微分技术，对QR和SVD分解进行求导，将该方法适配于正交矩阵分解问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在保持与欧几里得赫米特插值类比的同时，实现计算高效的黎曼流形赫米特插值？
• RQ2 在基于法坐标的插值方法中，数据处理误差与流形几何曲率之间存在何种内在关系？
• RQ3 所提出的插值方法能否在不依赖李群或对称空间结构的前提下，高效地应用于施蒂费尔流形等矩阵流形？
• RQ4 施蒂费尔流形的曲率特性如何影响基于法坐标的赫米特插值的精度？
• RQ5 当应用于SVD和QR分解等正交矩阵分解时，该方法的计算与数值性能特征如何？

主要发现

• 所提出的赫米特插值方法相比现有方法具有更低的计算成本，所需黎曼指数和对数映射计算次数更少。
• 只要存在高效的指数映射和对数映射算法，该方法可适用于任意黎曼流形。
• 建立了数据处理误差与流形截面曲率之间的理论联系，为基于法坐标的插值方法提供了通用误差界。
• 在施蒂费尔流形上的数值实验表明，该方法能准确实现正交矩阵分解（包括SVD和QR分解）的赫米特插值。
• 该方法成功计算出正交矩阵的C1连续插值曲线，且在使用不同法坐标中心时表现出可忽略的不对称性。
• 通过矩阵微分算法高效计算了QR和SVD分解的导数，使该方法可应用于动态矩阵分解问题。