[论文解读] Hermitian adjacency matrix of digraphs and mixed graphs

Krystal Guo, Bojan Mohar|arXiv (Cornell University)|May 6, 2015

Graph theory and applications参考文献 14被引用 7

一句话总结

本文为有向图和混合图引入了Hermite邻接矩阵，通过为有向边使用虚数单位i和-i，为双向边使用1，确保特征值为实数，从而实现谱分析。主要贡献在于刻画了所有特征值位于(-α, α)区间内（0 ≤ α ≤ √3）的有向图，并建立了谱半径与最大特征值之间的紧致界：ρ(X) ≤ 3λ₁(X)。

ABSTRACT

The paper gives a thorough introduction to spectra of digraphs via its Hermitian adjacency matrix. This matrix is indexed by the vertices of the digraph, and the entry corresponding to an arc from $x$ to $y$ is equal to the complex unity $i$ (and its symmetric entry is $-i$) if the reverse arc $yx$ is not present. We also allow arcs in both directions and unoriented edges, in which case we use $1$ as the entry. This allows to use the definition also for mixed graphs. This matrix has many nice properties; it has real eigenvalues and the interlacing theorem holds for a digraph and its induced subdigraphs. Besides covering the basic properties, we discuss many differences from the properties of eigenvalues of undirected graphs and develop basic theory. The main novel results include the following. Several surprising facts are discovered about the spectral radius; some consequences of the interlacing property are obtained; operations that preserve the spectrum are discussed -- they give rise to an incredible number of cospectral digraphs; for every $0\leα\le\sqrt{3}$, all digraphs whose spectrum is contained in the interval $(-α,α)$ are determined.

研究动机与目标

• 通过使用确保实特征值的Hermite邻接矩阵，为有向图与混合图发展谱理论。
• 通过克服非Hermite邻接矩阵导致复特征值的局限性，将谱图理论扩展至有向图。
• 研究有向图谱性质与结构特征之间的相互作用，如特征值交错与同谱性。
• 刻画所有其Hermite特征值位于给定区间(-α, α)（0 ≤ α ≤ √3）内的有向图。
• 探索保持谱不变的操作，从而构造出大量同谱但非同构的有向图族。

提出的方法

• 定义Hermite邻接矩阵H(D)，其中当弧uv存在但vu不存在时，H(u,v) = i；当vu存在但uv不存在时，H(u,v) = -i；当两条弧均存在时，H(u,v) = 1；否则为0。
• 利用矩阵的Hermite性质保证特征值为实数，并将子有向图的特征值交错定理应用于分析。
• 应用循环矩阵与斜循环矩阵的结果，计算有向环及其变体等结构化有向图的特征值。
• 利用度数与特征值交错导出的谱界，分析谱半径及其与最大特征值的关系。
• 通过切换操作与同谱构造，生成大量非同构的同谱有向图族。
• 应用斜对称循环矩阵理论，计算传递竞赛图与修改后环的特征值。

实验结果

研究问题

• RQ1 有向图与混合图的Hermite邻接矩阵具有何种谱性质？与无向图相比有何不同？
• RQ2 在有向图中，谱半径ρ(X)与最大特征值λ₁(X)之间有何关系？能否建立紧致界？
• RQ3 哪些有向图的所有Hermite特征值均位于区间(-α, α)内（0 ≤ α ≤ √3）？
• RQ4 哪些操作能保持有向图的谱？可生成多少个非同构的同谱有向图？
• RQ5 谱方法能否用于界定定向图中独立数或无环子图大小等组合参数？

主要发现

• 有向图的Hermite邻接矩阵具有实特征值，并满足诱导子有向图的特征值交错性质。
• 谱半径ρ(X)满足紧致界ρ(X) ≤ 3λ₁(X)，且等号在两个方向上均可能成立。
• 对任意0 ≤ α ≤ √3，所有H-特征值位于(-α, α)内的有向图均被完全刻画，包括仅含一个或两个特征值的情形。
• 存在无限多组强连通有向图族，其不同特征值数量恒定但直径无界。
• 同谱对普遍存在；对任意阶数为n的无向图，通过定向切换最多可构造出2^n个非同构的同谱有向图。
• 有向环Dₙ的特征值为2sin(2πk/n)，其中k = 0,…,n−1；而修改环C̃ₙ（其中一条弧反向）的特征值为-2sin((2j+1)π/n)，其中j = 0,…,n−1。