[论文解读] Hermitian flag manifolds and orbits of the Euclidean group

Philip Arathoon, James Montaldi|MIMS EPrints (University of Southampton)|Apr 25, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文建立了欧几里得型李群——即紧致群H与一个表示V的半直积——的伴随与共伴随轨道之间的几何双射，证明了对应轨道同伦等价，且在欧几里得群的情形下，甚至构成纤维丛结构。本文引入了赫尔米特旗流形作为这些轨道的几何模型，为欧几里得群与正交群的伴随与共伴随轨道提供了基于旗的描述，并在商空间上引入复结构。

ABSTRACT

We study the adjoint and coadjoint representations of a class of Lie group including the Euclidean group. Despite the fact that these representations are not in general isomorphic, we show that there is a geometrically defined bijection between the sets of adjoint and coadjoint orbits of such groups. In addition, we show that the corresponding orbits, although different, are homotopy equivalent. We also provide a geometric description of the adjoint and coadjoint orbits of the Euclidean and orthogonal groups as a special class of flag manifold which we call a Hermitian flag manifold. These manifolds consist of flags endowed with complex structures equipped to the quotient spaces that define the flag.

研究动机与目标

• 建立欧几里得型群的伴随与共伴随轨道之间的几何双射，其中伴随表示与共伴随表示并非同构。
• 将欧几里得群与正交群的伴随与共伴随轨道几何化为赫尔米特旗流形，包含商空间上的复结构。
• 证明双射下对应轨道同伦等价，且对欧几里得群而言，一个轨道是另一个轨道上的向量丛或仿射丛。
• 证明一般共伴随轨道在R^n中定向直线的辛流形D_n上纤维化，且这些纤维化是辛的，纤维为余维零。

提出的方法

• 将欧几里得型群定义为半直积G = H ⋉ V，其中H为紧致群，V为H的表示。
• 利用G在李代数及其对偶上的伴随与共伴随作用，通过具有复结构或定向商空间的旗型结构对轨道进行分类。
• 通过分析稳定子与轨道空间，构造伴随与共伴随轨道之间的几何双射，证明尽管表示不同构，轨道仍构成一一对应。
• 通过证明轨道为具有收缩纤维的纤维丛，证明双射轨道的同伦等价性，利用线性映射核的结构。
• 应用辛几何结果，证明R^n中定向直线的轨道D_n是其他轨道纤维化的基本辛流形。
• 利用旗丛结构在赫尔米特旗流形上定义不变的辛形式，证明纤维化为辛的或具有余维零纤维。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于非半单李群（如欧几里得群）而言，是否存在伴随与共伴随轨道之间的自然几何对应？
• RQ2 欧几里得群的伴随与共伴随轨道能否描述为带有附加几何结构的旗流形？
• RQ3 即使表示不同构，对应伴随与共伴随轨道是否仍具有相同的同伦型？
• RQ4 这些轨道的辛几何能否通过在R^n中定向直线的标准辛流形D_n上的纤维化来理解？
• RQ5 复结构与定向在定义这些轨道流形的几何中起什么作用？

主要发现

• 即使伴随表示与共伴随表示不同构，欧几里得型群的伴随与共伴随轨道之间仍存在几何双射。
• 双射下的对应轨道同伦等价，因为它们是具有收缩纤维的纤维丛。
• 对欧几里得群而言，每个共伴随轨道是对应伴随轨道上的向量丛或仿射丛，反之亦然。
• 欧几里得群的一般共伴随轨道在D_n上纤维化，D_n为R^n中定向直线的辛流形，且纤维为同构于赫尔米特旗流形的辛纤维。
• 旗流形AffF(1̃; d₀−1, d₁^C, ..., d_k^C)与F(d₀−1, d₁^C, ..., d_k^C) admits不变辛形式，且纤维化为辛的或具有余维零纤维。
• 所有欧几里得型群的伴随与共伴随轨道均为E(n)所构造旗流形的子流形，SE(n)轨道为E(n)轨道的连通分支。