[论文解读] Hermitian geometry on resolvent set(I)

Ronald G. Douglas, Rongwei Yang|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 29被引用 5

一句话总结

本文在单一半单Banach代数中算子元组的射影联合预解集上引入了一个Hermitian几何框架，利用${\mathcal{B}}$-值基本形式$\Omega_A = -\omega_A^* \wedge \omega_A$及其与忠实态的耦合。研究证明，由此产生的度量为Kähler当且仅当该元组可交换，且当与Fuglede-Kadison行列式关联时为完备度量，关键结果表明通过$\Omega_A$的迹，矩阵代数上的度量是完备的。该度量在$GL(k)$上为左不变、Ricci平坦但非Kähler，几何上建立了算子可交换性、谱拓扑与度量完备性之间通过曲率与行列式不变量的联系。

ABSTRACT

For a tuple $A=(A_1,\ A_2,\ ...,\ A_n)$ of elements in a unital Banach algebra ${\mathcal B}$, its projective joint spectrum $P(A)$ is the collection of $z\in {\mathbb C}^n$ such that $A(z)=z_1A_1+z_2A_2+\cdots +z_nA_n$ is not invertible. It is known that the ${\mathcal B}$-valued $1$-form $ω_A(z)=A^{-1}(z)dA(z)$ contains much topological information about the joint resolvent set $P^c(A)$. This paper studies geometric properties of $P^c(A)$ with respect to Hermitian metrics defined through the ${\mathcal B}$-valued {\em fundamental form} $Ω_A=-ω^*_A\wedge ω_A$ and its coupling with faithful states $ϕ$ on ${\mathcal B}$, i.e. $ϕ(Ω_A)$. The connection between the tuple $A$ and the metric is the main subject of this paper. In particular, it shows that the Kählerness of the metric is tied with the commutativity of the tuple, and its completeness is related to the Fuglede-Kadison determinant.

研究动机与目标

• 在单一半单Banach代数中算子元组的射影联合预解集$P^c(A)$上建立Hermitian几何结构。
• 研究$A$的代数性质（如可交换性）与由$\Omega_A$定义的度量的几何性质之间的相互作用。
• 建立由$\Omega_A$与忠实态$\phi$诱导的度量完备的条件，尤其与Fuglede-Kadison行列式相关。
• 探讨非交换算子理论中Maurer-Cartan形式$\omega_A = A^{-1}(z)dA(z)$的几何意义。
• 证明当$A$张成$M_k(\mathbb{C})$时，$\Omega_A$的迹在$GL(k)$上定义了一个完备、左不变、Ricci平坦但非Kähler的度量。

提出的方法

• 本文构造了${\mathcal{B}}$-值$1$-形式$\omega_A(z) = A^{-1}(z)dA(z)$，其在$GL({\mathcal{B}})$中可逆元左乘下不变，确保几何一致性。
• 定义基本形式$\Omega_A = -\omega_A^* \wedge \omega_A$，其在$P^c(A)$上生成一个Hermitian度量，并与忠实态$\phi$耦合得到$\phi(\Omega_A)$。
• 通过曲率形式分析度量的Kähler性质，证明度量为Kähler当且仅当元组$A$可交换。
• 度量的完备性与Fuglede-Kadison行列式相关：若边界点$q \in \partial P^c(A)$为$\phi$-奇异，则$q$到$P^c(A)$中任意点的距离为无穷，意味着$P^c(A)$在度量$\phi(\Omega_A)$下完备。
• 对于矩阵代数$M_k(\mathbb{C})$，本文利用迹$Tr(\Omega_A)$在$GL(k)$上定义度量，通过全纯行列式性质证明其完备、左不变且Ricci平坦。
• 度量矩阵计算为$g(z) = \alpha^*(A^{-1}(z) \otimes I_k)^* (A^{-1}(z) \otimes I_k) \alpha$，且$\det g(z) = |\det \alpha|^2 |\det A^{-k}(z)|^2$，确认Ricci平坦性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，由$\Omega_A$与忠实态$\phi$定义的Hermitian度量为Kähler？
• RQ2 Fuglede-Kadison行列式如何与$P^c(A)$上度量的完备性相关？
• RQ3 当$A$张成$M_k(\mathbb{C})$时，能否证明$GL(k)$上的度量$Tr(\Omega_A)$为完备、左不变、Ricci平坦且非Kähler？
• RQ4 定理3.2的逆命题是否成立：若边界点不在$P^c(A)$的闭包中，其是否必为$\phi$-奇异？
• RQ5 在算子元组背景下，$\omega_A$在$GL({\mathcal{B}})$左乘下不变的几何意义为何？

主要发现

• 由$\phi(\Omega_A)$定义的$P^c(A)$上的度量为Kähler当且仅当元组$A$可交换，建立了代数可交换性与几何Kähler结构之间的直接联系。
• 若边界点$q \in \partial P^c(A)$为$\phi$-奇异，则$q$到$P^c(A)$中每点的距离为无穷，意味着$P^c(A)$在度量$\phi(\Omega_A)$下完备。
• 当$A$为$M_k(\mathbb{C})$的一组基时，度量$Tr(\Omega_A)$在$GL(k)$上定义了一个完备、左不变、Ricci平坦但非Kähler的度量，由行列式公式$\det g(z) = |\det \alpha|^2 |\det A^{-k}(z)|^2$证实。
• $Tr(\Omega_A)$度量在$GL(k)$上左乘下不变，确认其在$GL(k)$上的左不变性，且$\omega_A$在$GL({\mathcal{B}})$下不变确保了几何一致性。
• Fuglede-Kadison行列式在完备性中起核心作用：$\phi$-奇异边界点为行列式以某种方式消失、阻止有限距离接近的点。
• 该度量为Ricci平坦，因为$\det g(z)$是全纯函数的模平方，而Ricci曲率因全纯行列式的对数凸性而消失。