[论文解读] Hermitian K-theory for stable $\infty$-categories II: Cobordism categories and additivity

Baptiste Calmès, E. Dotto+7 more|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 7

一句话总结

本文提出了一种在稳定 ∞-范畴中使用cobordism范畴模型的hermitian K-理论的统一框架。它建立了Grothendieck-Witt谱到K-理论与L-理论部分的分解，证明了hermitian加法定理，并在同伦论设定下恢复了经典结果，如Karoubi的周期性定理与Weiss-Williams的LA-理论，即使在不反演2的情况下也成立。

ABSTRACT

We define Grothendieck-Witt spectra in the setting of Poincaré $\infty$-categories and show that they fit into an extension with a K- and an L-theoretic part. As consequences we deduce localisation sequences for Verdier quotients, and generalisations of Karoubi's fundamental and periodicity theorems for rings in which 2 need not be invertible. Our set-up allows for the uniform treatment of such algebraic examples alongside homotopy-theoretic generalisations: For example, the periodicity theorem holds for complex oriented $\mathrm{E}_1$-rings, and we show that the Grothendieck-Witt theory of parametrised spectra recovers Weiss and Williams' LA-theory. Our Grothendieck-Witt spectra are defined via a version of the hermitian Q-construction, and a novel feature of our approach is to interpret the latter as a cobordism category. This perspective also allows us to give a hermitian version -- along with a concise proof -- of the theorem of Blumberg, Gepner and Tabuada, and provides a cobordism theoretic description of the aforementioned LA-spectra.

研究动机与目标

• 开发一个在稳定 ∞-范畴中对hermitian K-理论的同伦论框架，以扩展经典的Grothendieck-Witt理论。
• 统一代数与拓扑示例，包括2不可逆的环与E1-环。
• 通过Bott-Genauer序列，建立Grothendieck-Witt谱到K-理论与L-理论分量的分解。
• 利用cobordism范畴证明hermitian版本的Blumberg-Gepner-Tabuada加法定理。
• 证明参数化谱的Grothendieck-Witt理论等价于Weiss与Williams的LA-理论。

提出的方法

• 将hermitian Q-构造的新颖解释为Poincaré ∞-范畴中的cobordism ∞-范畴。
• 通过unimodular形式的cobordism ∞-范畴的群完备化来定义Grothendieck-Witt谱。
• 应用Poincaré-Verdier序列与加法函子理论，建立局部化与Mayer-Vietoris原理。
• 引入加法函子的bordification与真实超平面化，以构造基本正合序列。
• 建立Bott-Genauer序列，通过超平面化将Grothendieck-Witt谱与K-理论、L-理论关联。
• 使用C2-等变同伦论与范数映射，处理2-挠存在下的固定点与轨道。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不假设2可逆的情况下，系统性地将hermitian K-理论扩展到稳定 ∞-范畴？
• RQ2 在此设定下，Grothendieck-Witt谱、K-理论与L-理论之间的精确关系是什么？
• RQ3 能否通过cobordism理论方法，将K-理论的加法定理推广到hermitian设定？
• RQ4 参数化谱的Grothendieck-Witt理论是否能恢复Weiss与Williams的LA-理论？
• RQ5 Poincaré-Verdier序列与局部化序列在hermitian设定下如何表现？

主要发现

• Poincaré ∞-范畴的Grothendieck-Witt谱与K-理论、L-理论构成一个长正合序列，推广了经典Bott-Genauer序列。
• hermitian Q-构造被实现为cobordism ∞-范畴，提供了几何解释，并给出了加法定理的简洁证明。
• Karoubi的基本定理与周期性定理对2不可逆的环（包括复定向的E1-环）成立。
• 参数化谱的Grothendieck-Witt理论等价于Weiss与Williams的LA-理论。
• 即使在缺乏2-挠可逆性的情况下，该理论仍满足Verdier商的Mayer-Vietoris与局部化序列。
• 当2可逆时，从带有对偶的精确范畴的Grothendieck-Witt空间到cobordism范畴的谱实现的自然映射是同伦等价。