[论文解读] Hermitian K-theory for stable $\\infty$-categories III: Grothendieck-Witt groups of rings

Baptiste Calmès, E. Dotto+7 more|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 43被引用 9

一句话总结

本文建立了一个基础纤维序列，将环 $ R $ 的格罗滕迪克-威尔特定律谱与代数 $ K $-理论的 $ \mathrm{C}_2 $-同伦轨道以及拉尼基的非周期对称 $ L $-理论联系起来，从而在经典结果中消除了对 $ 2 $-可逆性的假设。关键贡献是卡鲁比分裂的整数版本，使得能够计算 $ \mathbb{Z} $ 及数域整数环等环上的格罗滕迪克-威尔特群，证明了在高维中有限生成性与等价性结果。

ABSTRACT

We establish a fibre sequence relating the classical Grothendieck-Witt theory of a ring $R$ to the homotopy $\\mathrm{C}_2$-orbits of its K-theory and Ranicki's original (non-periodic) symmetric L-theory. We use this fibre sequence to remove the assumption that 2 is a unit in $R$ from various results about Grothendieck-Witt groups. For instance, we solve the homotopy limit problem for Dedekind rings whose fraction field is a number field, calculate the various flavours of Grothendieck-Witt groups of $\\mathbb{Z}$, show that the Grothendieck-Witt groups of rings of integers in number fields are finitely generated, and that the comparison map from quadratic to symmetric Grothendieck-Witt theory of Noetherian rings of global dimension $d$ is an equivalence in degrees $\\geq d+3$. As an important tool, we establish the hermitian analogue of Quillen's localisation-d\\'evissage sequence for Dedekind rings and use it to solve a conjecture of Berrick-Karoubi.

研究动机与目标

• 将格罗滕迪克-威尔特群的卡鲁比分裂推广到整数情形，且不假设环中 $ 2 $ 可逆。
• 解决分式域为数域的戴德金环的同伦极限问题。
• 计算 $ \mathbb{Z} $ 及数域整数环上的高阶格罗滕迪克-威尔特群。
• 证明从二次到对称格罗滕迪克-威尔特理论的比较映射在全局维数为 $ d $ 的凝聚环上，于度数 $ \geq d+3 $ 时是同伦等价。
• 通过厄米特局部化-分解序列验证贝里克-卡鲁比关于 $ \mathrm{GW} $-理论结构的猜想。

提出的方法

• 构造一个谱的纤维序列：$ \mathrm{K}(R;M)_{\mathrm{h}C_2} \xrightarrow{\mathrm{hyp}} \mathrm{GW}_{\mathrm{cl}}^s(R;M) \to \mathrm{L}^{\mathrm{short}}(R;M) $，将 $ K $-理论、格罗滕迪克-威尔特理论与对称 $ L $-理论联系起来。
• 利用拉尼基的代数手术与 $ \mathrm{C}_2 $-等变同伦理论，将 $ L $-理论谱 $ \mathrm{L}^{\mathrm{short}}(R;M) $ 定义为具有非周期同伦群的连通谱。
• 为戴德金环建立一个厄米特类比的奎伦局部化-分解序列，从而通过 $ \mathrm{K} $-与 $ \mathrm{L} $-理论数据计算 $ \mathrm{GW} $-群。
• 利用纤维序列通过分析 $ \mathrm{K}(R;M)_{\mathrm{h}C_2} $ 与 $ \mathrm{L}^{\mathrm{short}}(R;M) $ 的同伦群，推导出整数结果，特别是针对 $ R = \mathbb{Z} $ 与整数环的情形。
• 利用 $ \mathrm{K}(R;M) $ 上的 $ \mathrm{C}_2 $-作用，恢复 $ \mathrm{K} $-理论的 $ \mathrm{C}_2 $-不变部分与 $ 2 $-倒数化后的威特理论分量。
• 利用 $ \mathrm{K} $-与 $ \mathrm{L} $-群的 $ 2 $-局部与 $ p $-局部结构，通过下降与比较定理计算数环上的 $ \mathrm{GW} $-群。

实验结果

研究问题

• RQ1 卡鲁比对格罗滕迪克-威尔特群的分裂能否推广到整数、非 $ 2 $-可逆的情形？
• RQ2 在不倒数化 $ 2 $ 的情况下，$ \mathbb{Z} $ 与数域整数环的格罗滕迪克-威尔特群结构如何？
• RQ3 对于全局维数有限的凝聚环，从二次到对称格罗滕迪克-威尔特理论的比较映射在高维中是否为同伦等价？
• RQ4 厄米特局部化-分解序列是否对戴德金环成立，且能否解决贝里克-卡鲁比猜想？
• RQ5 $ \mathrm{K}(R;M)_{\mathrm{h}C_2} $ 与 $ \mathrm{L}^{\mathrm{short}}(R;M) $ 的同伦群如何组合以确定 $ \mathrm{GW} $-群？

主要发现

• 对于任意环 $ R $，纤维序列 $ \mathrm{K}(R;M)_{\mathrm{h}C_2} \to \mathrm{GW}_{\mathrm{cl}}^s(R;M) \to \mathrm{L}^{\mathrm{short}}(R;M) $ 均成立，且为整数情形，推广了卡鲁比的 $ 2 $-倒数化分裂。
• 整数环 $ \mathbb{Z} $ 的格罗滕迪克-威尔特群被计算为 $ \mathrm{GW}_1^{-\mathrm{gq}}(\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}/4 $，$ \mathrm{GW}_3^{-\mathrm{gq}}(\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}/24 $，且 $ \mathrm{GW}_2^{-\mathrm{gq}}(\mathbb{Z}) \to \mathbb{Z} $ 的余核有限。
• 对于分式域为数域的戴德金环，同伦极限问题已解决，证实了计算 $ \mathrm{GW} $-群的谱序列收敛。
• 对于全局维数为 $ d $ 的凝聚环，比较映射 $ \mathrm{GW}^q \to \mathrm{GW}^s $ 在度数 $ \geq d+3 $ 时为同伦等价，从而消除了对 $ 2 $-挠的假设。
• $ \mathrm{C}_2 $-作用在 $ \mathrm{K}_n(\mathcal{O};\epsilon)[1/2] $ 上被确定，且整数环的 $ 2 $-倒数化 $ \mathrm{L} $-群为自由 $ \mathbb{Z}[1/2] $-模，其秩等于实嵌入数。
• 数域整数环的格罗滕迪克-威尔特群是有限生成的，此结论通过纤维序列及 $ \mathrm{K} $-与 $ \mathrm{L} $-群的有限性得到证明。