[论文解读] Hermitian One-Matrix Model and KP Hierarchy

Jian Zhou|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文通过明确识别与模型配分函数相对应的 Sato Grassmannian 元素，建立了 Hermite 一矩阵模型与 KP 层级之间的联系。利用京都学派的框架——全息对应与 tau 函数理论，推导出 n 点关联函数的显式公式，提供了一种新的代数几何方法来计算这些函数，超越了拓扑递归或 Toda 格点方法。

ABSTRACT

The partition functions of Hermitian one-matrix models are known to be tau-functions of the KP hierarchy. In this paper we explicitly compute the elements in Sato grassmannian these tau-functions correspond to, and use them to compute the $n$-point functions of Hermitian one-matrix model.

研究动机与目标

• 建立 Hermite 一矩阵模型的配分函数与 Sato Grassmannian 中元素之间的精确对应关系。
• 利用 KP 层级框架计算该模型的 n 点关联函数，而非通过环方程或拓扑递归方法。
• 利用对称群与酉群的表示理论，将配分函数表示为 Schur 函数形式，以实现显式计算。
• 通过 't Hooft 耦合常数，将有限 N 的结果推广至连续参数族，实现 n 点函数的连续版本。
• 提供一种新的、具有代数结构的方法，利用可积系统与顶点算子代数计算矩阵模型中的关联函数。

提出的方法

• 使用 Sato Grassmannian 与全息对应，将配分函数表示为 KP 层级的 tau 函数。
• 利用对称群的表示理论，将配分函数从牛顿幂和形式转换为 Schur 函数形式。
• 将作者先前工作中已知的 KP tau 函数 n 点函数公式应用于 Hermite 矩阵模型的具体情形。
• 通过 't Hooft 耦合常数引入连续参数 t，将离散的 N 情形推广为 tau 函数的连续族。
• 采用形式量子场论形式化，结合对称函数与赫米特矩阵上的高斯测度，定义关联函数。
• 通过包含预解函数与对称函数代数结构常数的生成函数，推导出 n 点函数的显式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 Hermite 一矩阵模型的配分函数如何被显式实现为 Sato Grassmannian 中的 tau 函数？
• RQ2 对于有限 N，配分函数 ZN 对应的精确 Sato Grassmannian 元素是什么？
• RQ3 是否能直接从 KP 层级数据计算 Hermite 矩阵模型的 n 点关联函数，而无需使用环方程？
• RQ4 对称群与酉群的表示理论在该语境下如何促进从幂和到 Schur 函数的转换？
• RQ5 通过 't Hooft 耦合常数，离散 N 模型在多大程度上可推广为 t 参数的连续族？这如何影响 n 点函数？

主要发现

• Hermite 一矩阵模型的配分函数 ZN 对应于 Sato Grassmannian 中的一个特定元素，该元素通过表示论方法显式构造。
• n 点函数通过已知的 KP tau 函数公式推导得出，得到以预解函数与结构常数表示的显式有理生成函数。
• 对于一维函数，结果为 G(1)N(x) = A(x,x)，其在 N 上的多项式系数显式表达至 x−21，与已知数列如 A035309 一致。
• 二维函数为 G(2)N(x,y) = [A(x,y)−A(y,x)]/(x−y) − A(x,y)A(y,x)，其项显式计算至 x−19y−19 及更高阶。
• 三维函数表示为涉及预解函数差值与 A(x,y) 乘积的有理项之和，其系数为 N 的幂次及如 [3,2,2]、[5,2,2] 等单项式。
• 通过 't Hooft 耦合常数的连续极限，可将相同公式扩展至非整数 t，将离散 N 结果推广为光滑的 KP tau 函数族。