[论文解读] Hermitian Self-Dual Cyclic Codes of Length $p^a$ over $GR(p^2,s)$

Somphong Jitman, San Ling+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2014

Coding theory and cryptography参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文表征并枚举了在伽罗华环 $\mathrm{GR}(p^2,s)$ 上长度为 $p^a$ 的厄米特自偶循环码，利用离散傅里叶变换分解及已知的循环码结果。主要贡献是完整枚举了此类码，从而实现了对 $\mathrm{GR}(p^2,s)$ 上任意长度的欧几里得自偶循环码的表征与计数，并修正了文献中关于基于 $\mathbb{Z}_4$ 的码的先前错误。

ABSTRACT

In this paper, we study cyclic codes over the Galois ring ${ m GR}({p^2},s)$. The main result is the characterization and enumeration of Hermitian self-dual cyclic codes of length $p^a$ over ${ m GR}({p^2},s)$. Combining with some known results and the standard Discrete Fourier Transform decomposition, we arrive at the characterization and enumeration of Euclidean self-dual cyclic codes of any length over ${ m GR}({p^2},s)$. Some corrections to results on Euclidean self-dual cyclic codes of even length over $\mathbb{Z}_4$ in Discrete Appl. Math. 128, (2003), 27 and Des. Codes Cryptogr. 39, (2006), 127 are provided.

研究动机与目标

• 完全表征并枚举 $\mathrm{GR}(p^2,s)$ 上长度为 $p^a$ 的厄米特自偶循环码。
• 将此表征应用于确定 $\mathrm{GR}(p^2,s)$ 上任意长度的欧几里得自偶循环码的数量。
• 修正早期关于 $\mathbb{Z}_4$ 上偶长度欧几里得自偶循环码的不准确之处。
• 建立基于离散傅里叶变换的谱分解框架，用于 $\mathrm{GR}(p^2,s)$ 上的循环码。

提出的方法

• 利用离散傅里叶变换分解，将长度为 $n = m p^a$ 且满足 $p \nmid m$ 的循环码分解为 $\mathrm{GR}(p^2,s)$ 的伽罗华扩张上的码的乘积。
• 将该分解应用于将循环码的欧几里得对偶表示为分量码对偶的乘积，利用分量中的厄米特对偶与欧几里得对偶。
• 当 $s$ 为偶数时，在 $\mathrm{GR}(p^2,s)$ 上使用自同态 $\bar{\alpha} = a^{p^{s/2}} + b^{p^{s/2}}p$ 来定义厄米特对偶。
• 结合已知的 $\mathrm{GR}(p^2,s)$ 上长度为 $p^a$ 的循环码结果与厄米特自偶码的新表征，推导出欧几里得自偶码的枚举结果。
• 利用模 $m$ 的 $p$-分圆陪集结构对分解分量进行分类，并确定对偶性条件。
• 将该分解应用于修正文献 [2] 和 [4] 中关于 $\mathbb{Z}_4$ 上欧几里得自偶循环码数量的错误主张。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathrm{GR}(p^2,s)$ 上，长度为 $p^a$ 的厄米特自偶循环码共有多少个？
• RQ2 能否对 $\mathrm{GR}(p^2,s)$ 上任意长度的欧几里得自偶循环码的结构进行完全表征？
• RQ3 $\mathbb{Z}_4$ 上偶长度欧几里得自偶循环码的正确枚举是多少，特别是当 $n=6$ 和 $n=10$ 时？
• RQ4 为何 [2] 和 [4] 中关于基于 $\mathbb{Z}_4$ 的欧几里得自偶循环码的结果是错误的？其更正后的公式是什么？
• RQ5 离散傅里叶变换分解如何实现对 $\mathrm{GR}(p^2,s)$ 上自偶码的分类与枚举？

主要发现

• 在 $\mathrm{GR}(p^2,s)$ 上，长度为 $p^a$ 的厄米特自偶循环码的数量已完全表征并完成枚举。
• 对于 $n = m p^a$ 且满足 $p \nmid m$ 的情况，$\mathrm{GR}(p^2,s)$ 上欧几里得自偶循环码的数量由涉及 $N_{\rm E}(\mathrm{GR}(p^2,m_h),p^a)$、$N_{\rm H}(\mathrm{GR}(p^2,m_h),p^a)$ 与 $N(\mathrm{GR}(p^2,m_k),p^a)$ 的乘积给出，具体取决于分圆陪集类型。
• $\mathbb{Z}_4$ 上长度为 $n=6$ 的欧几里得自偶循环码的正确数量为 3，而非 [2] 和 [4] 中声称的 1。
• $\mathbb{Z}_4$ 上长度为 $n=10$ 的欧几里得自偶循环码的正确数量为 5，而非 [2] 和 [4] 中声称的 1。
• 声称对所有奇数 $m$ 都有 $N_{\rm E}(\mathbb{Z}_4,2m)=1$ 是错误的；该结论仅在 $m=1$ 时成立，纠正了文献中广泛存在的错误。
• 长度为 $n=m2^a$ 的 $\mathbb{Z}_4$ 上欧几里得自偶循环码数量的更正公式为 $N_{\rm E}(\mathbb{Z}_4,2^a) \times \prod_{h\in J_1} N_{\rm H}(\mathrm{GR}(4,m_h),2^a) \times \prod_{k\in J_2'} N(\mathrm{GR}(4,m_k),2^a)$。