[论文解读] Hermitian vector bundles and extension groups on arithmetic schemes. I. Geometry of numbers

Jean-Benoît Bost, Klaus Kuennemann|ArXiv.org|Jan 12, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文在Arakelov几何中引入了算术扩张群 $\widehat{\rm Ext}^{1}_{X}(F,G)$，通过算术概形上赫米蒂亚向量丛的可接受短正合列来定义它们。它在算术曲线上为这类扩张建立了一个对数大小不变量，证明了其关于斜率不变量的上界，并在阿贝尔扩张或特定格子下证明了其在基变换下的不变性。

ABSTRACT

We define and investigate extension groups in the context of Arakelov geometry. The 'arithmetic extension groups' we introduce are extensions by groups of analytic types of the usual extension groups attached to $Ø_X$-modules over an arithmetic scheme $X$. In this paper, we focus on the first arithmetic extension group - the elements of which may be described in terms of admissible short exact sequences of hermitian vector bundles over $X$ - and we especially consider the case when $X$ is an 'arithmetic curve', namely the spectrum $\Spec Ø_K$ of the ring of integers in some number field $K$. Then the study of arithmetic extensions over $X$ is related to old and new problems concerning lattices and the geometry of numbers.

研究动机与目标

• 在Arakelov几何的背景下定义并研究算术扩张群 $\widehat{\rm Ext}^{1}_{X}(F,G)$，通过加入分析与赫米蒂亚数据来扩展经典的扩张群。
• 将算术曲线 ${\rm Spec}\,{\mathcal{O}}_{K}$ 上的算术扩张与数的几何问题（特别是格理论与Voronoi胞腔）联系起来。
• 为 $\widehat{\rm Ext}^{1}_{X}(F,G)$ 中元素引入对数大小不变量 ${\mathfrak{s}}_{\overline{F},\overline{G}}(\alpha)$，并用斜率不变量对其进行有界。
• 研究该大小在基变换（特别是将数域 $K$ 扩展到 $K'$）下的行为，尤其在特殊情况下建立其不变性。
• 将 $\mathbb{P}^{1}_{\mathbb{Z}}$ 上全息扩张的大小与 $PSL_{2}(\mathbb{Z})$ 在上半平面的作用及约化理论联系起来。

提出的方法

• 将算术扩张群 $\widehat{\rm Ext}^{1}_{X}(F,G)$ 定义为带有在复共轭下不变的 $\mathcal{C}^\infty$-分裂的 ${\mathcal{O}}_{X}$-模扩张。
• 引入赫米蒂亚向量丛的可接受扩张的概念，其中 $F$ 和 $G$ 上的度量由 $E$ 导出，以确保与分裂的相容性。
• 通过分裂截面的 $L^2$-范数定义算术扩张 $\alpha$ 的对数大小 ${\mathfrak{s}}_{\overline{F},\overline{G}}(\alpha)$。
• 建立 ${\mathfrak{s}}_{\overline{F},\overline{G}}(\alpha)$ 的上界，其表达式仅依赖于最大斜率 $\mu_{\max}(\overline{F})$ 和 $\mu_{\max}(\overline{G})$。
• 利用欧几里得格的Voronoi胞腔的几何结构分析扩张的大小，特别关注Voronoi第一类格。
• 通过研究 $K \to K'$ 的域扩张下大小的变换行为来分析基变换行为，证明当 $K'$ 是 $K$ 的阿贝尔扩张，或当 $\overline{F}^\lor \otimes \overline{G}$ 是根格或Voronoi格的直和时，大小保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过加入分析与赫米蒂亚数据，使算术几何中的扩张群得到丰富化，从而形成有意义的算术扩张群？
• RQ2 对算术曲线上的算术扩张，大小不变量 ${\mathfrak{s}}_{\overline{F},\overline{G}}(\alpha)$ 的几何意义是什么？
• RQ3 当将数域 $K$ 扩展到更大的数域 $K'$ 时，算术扩张的大小如何变化？
• RQ4 能否将 $\mathbb{P}^{1}_{\mathbb{Z}}$ 上全息扩张的大小与 $PSL_{2}(\mathbb{Z})$ 在上半平面的作用联系起来？
• RQ5 在何种条件下，算术扩张的大小在基变换下保持不变？

主要发现

• 算术扩张 $\alpha$ 的大小 ${\mathfrak{s}}_{\overline{F},\overline{G}}(\alpha)$ 的上界仅依赖于最大斜率 $\mu_{\max}(\overline{F})$ 和 $\mu_{\max}(\overline{G})$。
• 对于 $\mathbb{P}^{1}_{\mathbb{Z}}$ 上的全息扩张，其在 $\mathbb{P}^{1}(\mathbb{Z})$ 上的限制的大小与 $PSL_{2}(\mathbb{Z})$ 在Poincaré上半平面的作用相关。
• 当 $K'$ 是 $K$ 的阿贝尔扩张，或 $\overline{F}^\lor \otimes \overline{G}$ 是根格或Voronoi第一类格的直和时，算术扩张的大小在基变换下保持不变。
• 具有正Selling参数的Voronoi第一类格的Voronoi胞腔具有排列多面体的组合类型，其顶点与超基的全序子集之间存在双射。
• 可接受扩张的大小受关联格的覆盖半径有界，且在某些情况下该界是紧的。
• 当扩张为分圆扩张时，算术扩张的大小在欧几里得格的基变换下保持不变，且该不变性与Voronoi胞腔的结构相关。