[论文解读] Hermitian vector bundles and extension groups on arithmetic schemes. II. The arithmetic Atiyah extension

Jean-Benoît Bost, Klaus Künnemann|ArXiv.org|Jul 28, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 43被引用 7

一句话总结

本文引入了算术艾蒂希类，这是算术扩张群中的一个障碍，用于度量在算术概形上的埃尔米特向量丛上单位联络在复纤维上非代数化的程度。它建立了算术第一陈类的消失与该概形的Picard簇的普遍向量扩张上的有理点之间的联系，通过施耐德-朗超越理论证明了核的有限性结果，并对特征零曲线上纤维化的相对艾蒂希类提供了几何刻画。

ABSTRACT

In a previous paper, we have defined arithmetic extension groups in the context of Arakelov geometry. In the present one, we introduce an arithmetic analogue of the Atiyah extension that defines an element -- the arithmetic Atiyah class -- in a suitable arithmetic extension group. If $\overline{E}$ is a hermitian vector bundle on an arithmetic scheme $X$, its arithmetic Atiyah class is an obstruction to the algebraicity of the unitary connection on the vector bundle $E_\C$ over the complex manifold $X(\C)$ that is compatible with its holomorphic structure. We develop basic properties of the arithmetic Atiyah class and study its vanishing in the case of hermitian line bundles. This may be translated into a concrete problem of diophantine geometry, concerning rational points of the universal vector extension of the Picard variety of $X$. We investigate this problem, which was already considered and solved in some cases by Bertrand, by using a classical transcendence result of Schneider-Lang, and we derive a finiteness result. We also consider a geometric analog of our arithmetic situation, namely a smooth, projective variety $X$ which is fibered on a curve $C$ defined over some field $k$ of characteristic zero. To any line bundle $L$ over $X$ is attached its relative Atiyah class ${ m at}_{X/C}L$. We describe precisely when this class vanishes. In particular, when the fixed part of the relative Picard variety of $X$ over $C$ is trivial, this holds only when the restriction of $L$ to the generic fiber $X_K$ of $X$ over $C$ is a torsion line bundle.

研究动机与目标

• 在算术概形上的埃尔米特向量丛背景下定义并研究算术艾蒂希类。
• 将算术艾蒂希类确立为埃尔米特向量丛在复纤维上的单位联络非代数化的障碍。
• 研究算术第一陈类在Hodge上同调中的消失及其丢番图意义。
• 利用施耐德-朗超越理论，证明算术第一陈类核的有限性结果。
• 对特征零域上曲线的纤维化中的线丛提供相对艾蒂希类的几何刻画。

提出的方法

• 将算术艾蒂希类定义为算术概形 $X$ 上埃尔米特向量丛 $\overline{E}$ 的算术扩张群 $\widehat{\rm Ext}^{1}_{X}(E,E\otimes\Omega_{X/{\mathbb{Z}}}^{1})$ 中的元素。
• 利用算术艾蒂希类在算术Hodge上同调中构造特征类。
• 将 $\hat{c}_{1}^{H}(\overline{L})$ 的消失与 $X$ 的Picard簇的普遍向量扩张上的有理点联系起来。
• 应用经典的施耐德-朗超越结果，建立 $\hat{c}_{1}^{H}$ 核的有限性。
• 通过考虑特征零域上曲线 $C$ 上的光滑射影概形 $X$ 的纤维化，分析其几何类比。
• 通过 $L$ 的某个正幂下降到 $C$ 上的线丛，刻画 $H^1(X, \Omega^1_{X/C})$ 中相对艾蒂希类 $\mathrm{at}_{X/C}(L)$ 的消失。

实验结果

研究问题

• RQ1 算术艾蒂希类 $\widehat{{\rm at}}_{X/{\mathbb{Z}}}(\overline{E})$ 何时消失？这对其在 $E_\mathbb{C}$ 上的单位联络的代数性有何含义？
• RQ2 算术第一陈类 $\hat{c}_1^H(\overline{L})$ 在 $\widehat{\rm Ext}^1_X(\mathcal{O}_X, \Omega^1_{X/\mathbb{Z}})$ 中的消失具有何种丢番图解释？
• RQ3 施耐德-朗超越定理如何限制 $\hat{c}_1^H$ 核的结构？
• RQ4 在何种几何条件下，曲线上纤维化 $X \to C$ 上的线丛 $L$ 的相对艾蒂希类 $\mathrm{at}_{X/C}(L)$ 消失？
• RQ5 当相对Picard簇的固定部分平凡时，线丛 $L$ 在 $X$ 上的相对艾蒂希类何时消失？

主要发现

• 算术艾蒂希类 $\widehat{{\rm at}}_{X/{\mathbb{Z}}}(\overline{E})$ 属于 $\widehat{\rm Ext}^{1}_{X}(E,E\otimes\Omega_{X/{\mathbb{Z}}}^{1})$，并阻碍了 $E_\mathbb{C}$ 上单位联络的代数性。
• $\hat{c}_1^H(\overline{L})$ 的消失对应于 $X$ 的Picard簇的普遍向量扩张上的有理点。
• 利用施耐德-朗超越结果，本文证明了 $\hat{c}_1^H$ 核的有限性定理。
• 对于特征零域上曲线 $C$ 的光滑射影纤维化 $X \to C$，若相对Picard簇的固定部分平凡，则相对艾蒂希类 $\mathrm{at}_{X/C}(L)$ 消失当且仅当 $L$ 的某个正幂下降到 $C$ 上的线丛。
• 算术艾蒂希类为在算术Hodge上同调中定义特征类提供了工具。
• 本研究在算术几何、超越论与阿莱克谢耶夫理论中向量丛的几何之间建立了精确联系。