[论文解读] Hesse manifolds and Hessian symmetries of multifield cosmological models

Calin Iuliu Lazaroiu|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文引入了Hesse流形——即存在非平凡Hesse函数（Hesse方程的解）的黎曼流形——作为分类多场宇宙学模型中隐藏（Hessian）对称性的几何框架。研究证明，完备Hesse流形本质上是双曲的，当且仅当其Hesse指标为 $ n+1 $ 时，该流形与庞加莱球面等距；并表明Hesse函数通过到特征子集的距离编码了几何信息，从而推广了双曲几何。

ABSTRACT

I give a brief overview of the mathematical theory of Noether symmetries of multifield cosmological models, which decompose naturally into visible and Hessian (a.k.a. 'hidden') symmetries. While visible symmetries correspond to those infinitesimal isometries of the Riemannian target space of the scalar field map which preserve the scalar potential, Hessian symmetries have a much deeper theory. The latter correspond to Hesse functions, defined as solutions of the so-called Hesse equation of the target space. By definition, a Hesse manifold is a Riemannian manifold which admits nontrivial Hesse functions -- not to be confused with a Hessian manifold (the latter being a Riemannian manifold whose metric is locally the Hessian of a function). All Hesse $n$-manifolds ${\cal M}$ are non-compact and characterized by their index, defined as the dimension of the space of Hesse functions, which carries a natural symmetric bilinear pairing. The Hesse index is bounded from above by $n+1$ and, when the metric is complete, this bound is attained iff ${\cal M}$ is a Poincaré ball, in which case the space of Hesse functions identifies with $\mathbb{R}^{1,n}$ through an isomorphism constructed from the Weierstrass map. More generally, any elementary hyperbolic space form is a complete Hesse manifold and any Hesse manifold whose local Hesse index is maximal is hyperbolic. In particular, the class of complete Hesse surfaces coincides with that of elementary hyperbolic surfaces and hence any such surface is isometric with the Poincaré disk, the hyperbolic punctured disk or a hyperbolic annulus. On a complete Hesse manifold $({\cal M},G)$, the value of any Hesse function $Λ$ can be expressed though the distance from a characteristic subset of ${\cal M}$ determined by $Λ$.

研究动机与目标

• 开发一个用于分类多场宇宙学模型中Noether对称性的几何框架，区分可见（等距）对称性与隐藏（Hessian）对称性。
• 定义并表征Hesse流形，即存在非平凡Hesse方程解的黎曼流形。
• 建立Hesse指标（Hesse函数空间的维数）与流形几何之间的关系，尤其关注完备情形。
• 证明当Hesse流形完备且Hesse指标达到最大值时，其与庞加莱球面等距，该结论通过Weierstrass映射构造的同构得出。
• 通过推广双曲几何，表明所有初等双曲空间形式均为完备Hesse流形，且最大局部Hesse指标蕴含局部双曲性。

提出的方法

• 将Hesse流形定义为存在非平凡Hesse函数的黎曼流形，其中Hesse函数是标量场映射目标空间上Hesse方程的解。
• 引入Hesse指标作为Hesse函数空间的维数，并赋予其自然的对称双线性型。
• 利用Weierstrass映射，在Hesse指标达到最大值时，构造Hesse函数空间与 $ \mathbb{R}^{1,n} $ 之间的同构。
• 证明完备Hesse流形的Hesse指标达到最大值 $ n+1 $ 当且仅当其与庞加莱球面等距。
• 应用双曲几何的单值化定理，表明任意具有最大局部Hesse指标的完备Hesse流形均为局部双曲。
• 推导任意Hesse函数 $ \Lambda $ 的取值及其梯度流的几何表达式，以流形上特定子集的距离函数表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 在目标空间的可见等距之外，多场宇宙学模型中隐藏（Hessian）对称性的几何结构是什么？
• RQ2 Hesse函数空间与目标流形的几何结构（尤其是完备情形）有何关联？
• RQ3 何种条件下黎曼流形可具有最大Hesse指标？这对其整体结构意味着什么？
• RQ4 Hesse流形能否用于推广双曲几何？若能，其与初等双曲空间形式的关系如何？
• RQ5 Hesse函数的取值与动力学如何以流形上的距离函数几何地表达？

主要发现

• 所有Hesse $ n $-流形均为非紧致，且其Hesse指标上界为 $ n+1 $，当且仅当流形完备且与庞加莱球面等距时该上界可达。
• 对于完备Hesse流形，通过Weierstrass映射，其Hesse函数空间同构于 $ \mathbb{R}^{1,n} $，从而与洛伦兹几何建立深层联系。
• 所有初等双曲空间形式均为完备Hesse流形，且任意具有最大局部Hesse指标的Hesse流形均为局部双曲。
• 完备Hesse曲面的类恰好与初等双曲曲面的类一致，包括庞加莱圆盘、双曲穿孔圆盘及双曲环形区域。
• 任意Hesse函数 $ \Lambda $ 在完备Hesse流形上的取值可表示为由 $ \Lambda $ 确定的流形特定子集距离的函数。
• Hesse函数 $ \Lambda $ 的梯度流完全由其关联特征子集的距离函数刻画，从而提供了几何化的动力学描述。