[论文解读] Hessenberg varieties and hyperplane arrangements

Takuro Abe, Tatsuya Horiguchi+3 more|Osaka City University (Osaka City University)|Nov 1, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 28被引用 16

一句话总结

本文建立了正则幂零与正则半单 Hessenberg 簇的上同调之间，与复半单李群的正根中某一低位理想所关联的超平面排列的对数导子模所导出的分次环之间的深度同构关系。关键结果推广了 Borel 定理，并证明了奇异 Hessenberg 簇的硬 Lefschetz 性质与 Hodge-Riemann 关系，解决了长期存在的猜想，并在类型 B、C 和 G 中给出了显式表示。

ABSTRACT

Given a semisimple complex linear algebraic group $G$ and a lower ideal $I$ in positive roots of $G$, three objects arise: the ideal arrangement $\mathcal{A}_I$, the regular nilpotent Hessenberg variety $\mbox{Hess}(N,I)$, and the regular semisimple Hessenberg variety $\mbox{Hess}(S,I)$. We show that a certain graded ring derived from the logarithmic derivation module of $\mathcal{A}_I$ is isomorphic to $H^*(\mbox{Hess}(N,I))$ and $H^*(\mbox{Hess}(S,I))^W$, the invariants in $H^*(\mbox{Hess}(S,I))$ under an action of the Weyl group $W$ of $G$. This isomorphism is shown for general Lie type, and generalizes Borel's celebrated theorem showing that the coinvariant algebra of $W$ is isomorphic to the cohomology ring of the flag variety $G/B$. This surprising connection between Hessenberg varieties and hyperplane arrangements enables us to produce a number of interesting consequences. For instance, the surjectivity of the restriction map $H^*(G/B) o H^*(\mbox{Hess}(N,I))$ announced by Dale Peterson and an affirmative answer to a conjecture of Sommers-Tymoczko are immediate consequences. We also give an explicit ring presentation of $H^*(\mbox{Hess}(N,I))$ in types $B$, $C$, and $G$. Such a presentation was already known in type $A$ or when $\mbox{Hess}(N,I)$ is the Peterson variety. Moreover, we find the volume polynomial of $\mbox{Hess}(N,I)$ and see that the hard Lefschetz property and the Hodge-Riemann relations hold for $\mbox{Hess}(N,I)$, despite the fact that it is a singular variety in general.

研究动机与目标

• 通过上同调环建立 Hessenberg 簇与超平面排列之间的结构性联系。
• 将 Borel 关于旗流形上同调的定理推广至 Hessenberg 簇。
• 解决限制映射 $ H^*(G/B) \to H^*(\operatorname{Hess}(N,I)) $ 的满射性问题，该问题此前由 Dale Peterson 提出猜想。
• 尽管存在奇点，仍证明正则幂零 Hessenberg 簇的硬 Lefschetz 性质与 Hodge-Riemann 关系。
• 在类型 B、C 和 G 中，为 $ H^*(\operatorname{Hess}(N,I)) $ 提供显式环表示，扩展了类型 A 中已知的结果。

提出的方法

• 在复半单李群 $ G $ 的正根中定义一个低位理想 $ I $，从而导出相应的理想排列 $ \mathcal{A}_I $。
• 构造对数导子模 $ D(\mathcal{A}_I) $，并定义 $ \mathcal{R} $ 中由 $ \theta(Q) $ 生成的理想 $ \mathfrak{a}(I) $，其中 $ \theta \in D(\mathcal{A}_I) $ 且 $ Q $ 为 $ W $-不变的二次型。
• 建立分次环 $ \mathcal{R}/\mathfrak{a}(I) $ 与 $ H^*(\operatorname{Hess}(N,I)) $ 之间的同构，以及 $ \mathcal{R}/\mathfrak{a}(I) $ 与 $ H^*(\operatorname{Hess}(S,I))^W $（正则半单 Hessenberg 簇的 $ W $-不变上同调）之间的同构。
• 利用多项式环 $ \mathcal{R} = \operatorname{Sym}(\hat{T} \otimes \mathbb{R}) $ 的结构及 Weyl 群 $ W $ 的作用，分析不变量与上同调关系。
• 应用 Newton-Okounkov 体与体积多项式理论，解释 $ P_I $（判别式在微分算子下的像）。
• 利用 $ \operatorname{Hess}(S,I) $ 是非奇异射影代数簇的事实，从其 Kähler 结构继承硬 Lefschetz 与 Hodge-Riemann 性质，再通过同构将其传递至 $ \operatorname{Hess}(N,I) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在超平面排列的对数导子模与 Hessenberg 簇上同调之间的上同调同构？
• RQ2 奇异正则幂零 Hessenberg 簇是否满足硬 Lefschetz 性质？
• RQ3 能否在类型 B、C 和 G 中显式给出 $ \operatorname{Hess}(N,I) $ 的上同调环表示？
• RQ4 如 Dale Peterson 所猜想，限制映射 $ H^*(G/B) \to H^*(\operatorname{Hess}(N,I)) $ 是否满射？
• RQ5 尽管一般情况下 $ \operatorname{Hess}(N,I) $ 是奇异的，其 Hodge-Riemann 关系是否仍然成立？

主要发现

• 上同调环 $ H^*(\operatorname{Hess}(N,I)) $ 同构于 $ \mathcal{R}/\mathfrak{a}(I) $，将 Borel 定理推广至 Hessenberg 簇。
• 限制映射 $ H^*(G/B) \to H^*(\operatorname{Hess}(N,I)) $ 的满射性作为主同构的直接推论得以确立。
• 对任意低位理想 $ I $，同构 $ H^*(\operatorname{Hess}(N,I)) \cong H^*(\operatorname{Hess}(S,I))^W $ 成立，扩展了类型 A 中已知结果。
• 在类型 B、C 和 G 中，构造了 $ H^*(\operatorname{Hess}(N,I)) $ 的显式环表示，此前这些类型中尚无此类表示。
• 通过微分算子作用于判别式所得的多项式 $ P_I $，识别出 $ \operatorname{Hess}(N,I) $ 的体积多项式。
• 尽管存在奇点，$ \operatorname{Hess}(N,I) $ 在正维数下仍满足硬 Lefschetz 性质与 Hodge-Riemann 关系，这是通过从 $ \operatorname{Hess}(S,I) $ 的 Kähler 结构传递而来的。