[论文解读] Hessian formulas and estimates for parabolic Schrödinger operators

Xue-Mei Li|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 57被引用 12

一句话总结

本文建立了带有漂移和势能的黎曼流形上抛物型薛定谔算子的二阶费曼-费曼-卡公式及海森矩阵估计。通过使用双重阻尼随机平行移动以及几何曲率条件——特别是对 $\mathop{\rm Ric}-2\mathop{\rm Hess}h$、曲率算子和循环和 $\Theta^h$ 的有界性——作者推导出热核海森矩阵的精确高斯型估计，将概率论中的海森矩阵公式拓展至非加权情形之外。

ABSTRACT

We study the Hessian of the fundamental solution to the parabolic problem for weighted Schrödinger operators of the form $\frac 12 Δ+ abla h-V$ proving a second order Feynman-Kac formula and obtaining Hessian estimates. For manifolds with a pole, we use the Jacobian determinant of the exponential map to offset the volume growth of the Riemannian measure and use the semi-classical bridge as a delta measure at $y_0$ to obtain exact Gaussian estimates. These estimates are in terms of bounds on $Ric-2 Hess (h)$, on the curvature operator, and on the cyclic sum of the gradient of the Ricci tensor.

研究动机与目标

• 推导黎曼流形上抛物型薛定谔算子解的海森矩阵的二阶费曼-卡公式。
• 利用概率方法与几何曲率条件，建立基本解 $p_t^{h,V}$ 的精确海森矩阵估计。
• 通过随机阻尼平行移动引入漂移 $h$ 和势能 $V$，将现有海森矩阵公式拓展至非加权情形之外。
• 刻画曲率项——特别是 $\mathop{\rm Ric}-2\mathop{\rm Hess}h$、曲率算子和 $\Theta^h$ ——在控制海森矩阵增长与衰减中的作用。
• 在几何假设下（包括强 1-完备性与有界曲率），为热核的海森矩阵提供精确的高斯型估计。

提出的方法

• 引入由 $\frac{1}{2}\mathop{\rm Ric}^\sharp - \nabla^2 h$、曲率算子 $\mathcal{R}$ 和曲率项 $\Theta^h$ 驱动的双重阻尼随机平行移动方程。
• 将双重阻尼方程的解 $W_t^{(2)}$ 用作导数流二阶导数的局部条件期望。
• 推导出一个二阶费曼-卡公式，将 $\mathop{\rm Hess} P_t^{h,V}f$ 表示为涉及 $W_t$ 和 $W_t^{(2)}$ 的期望形式，而无需对 $f$ 或 $V$ 进行微分。
• 利用半经典桥作为 $y_0$ 处的 $\delta$-测度，通过路径积分表示基本解 $p_t^{h,V}(x_0,y_0)$。
• 利用指数映射的雅可比行列式来抵消黎曼测度中的体积增长，从而实现精确的高斯型估计。
• 应用梯度 SDE 的强 1-完备性，以确保导数过程的可积性与 $L^2$ 收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不微分初值函数或势能的前提下，推导抛物型薛定谔方程解的二阶海森矩阵估计？
• RQ2 定义为 $\nabla \mathop{\rm Ric}^\sharp$ 的循环和 $\Theta^h$ 在海森矩阵公式中起什么作用？
• RQ3 $\mathop{\rm Ric}-2\mathop{\rm Hess}h$、曲率算子和 $\Theta^h$ 的有界性如何影响热核的海森矩阵？
• RQ4 能否通过概率方法与几何假设，获得 $p_t^{h,V}$ 海森矩阵的精确高斯型估计？
• RQ5 双重阻尼随机平行移动过程在多大程度上捕捉了导数流的二阶行为？

主要发现

• 建立了 $\mathop{\rm Hess} P_t^{h,V}f$ 的二阶费曼-卡公式，将海森矩阵表示为涉及 $W_t(v_1,v_2)$ 和 $W_t^{(2)}(v_1,v_2)$ 的期望之和，而无需对 $f$ 或 $V$ 进行微分。
• 在条件 C1(a)、C3 和 C5(g) 下，基本解的海森矩阵满足 $\nabla df(v_1,v_2) = \mathbb{E} \left[ \nabla df(W_t(v_2), W_t(v_1)) \right] + \mathbb{E} \left[ df(W_t^{(2)}(v_2,v_1)) \right]$。
• 通过将半经典桥与指数映射的雅可比行列式进行体积校正，获得了 $p_t^{h,V}$ 的精确高斯型估计。
• 曲率项 $\Theta^h$ 自然地作为 $d$ 与 $\Delta^h$ 之间交换性的障碍出现，是海森矩阵公式中不可或缺的部分。
• 在强 1-完备性条件下，双重阻尼随机平行移动过程 $W_t^{(2)}$ 被证明是导数流二阶导数的局部条件期望。
• 在 $\rho^h = \mathop{\rm Ric} - 2\mathop{\rm Hess}h$ 有界且导数过程可积的条件下，海森矩阵公式在 $L^2$ 和 $L^1$ 意义下收敛。