[论文解读] Hessian valuations.

Andrea Colesanti, Monika Ludwig+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2017

Point processes and geometric inequalities参考文献 17被引用 7

一句话总结

该论文提出了一类在 ℝⁿ 上的凸函数上的新型连续泛函，通过涉及函数的 Hessian 矩阵的第 i 个初等对称函数以及函数值、位置和梯度的连续函数 ζ 的积分来定义。在 ζ 满足适当条件时，这些泛函对凸函数和强制函数在平移和旋转下保持不变。

ABSTRACT

A new class of continuous valuations on the space of convex functions on $\mathbb{R}^n$ is introduced. On smooth convex functions, they are defined for $i=0,\dots,n$ by \begin{equation*} u\mapsto \int_{\mathbb{R}^n} \zeta(u(x),x, abla u(x))\,[\operatorname{D}^2 u(x)]_i\,{ m d} x \end{equation*} where $\zeta\in C(\mathbb{R} imes\mathbb{R}^n imes\mathbb{R}^n)$ and $[\operatorname{D}^2 u]_i$ is the $i$th elementary symmetric function of the eigenvalues of the Hessian matrix, $\operatorname{D}^2 u$, of $u$. Under suitable assumptions on $\zeta$, these valuations are shown to be invariant under translations and rotations on convex and coercive functions.

研究动机与目标

• 在 ℝⁿ 上的凸函数空间中定义一类新的连续泛函。
• 利用 Hessian 矩阵及其初等对称函数来刻画这些泛函。
• 为凸函数和强制函数建立在平移和旋转下的不变性。
• 将泛函理论扩展到基于 Hessian 矩阵构造的凸函数设定中。

提出的方法

• 通过函数 Hessian 矩阵 D²u 的特征值的第 i 个初等对称函数，在光滑凸函数上定义泛函。
• 将泛函构造为 ℝⁿ 上的积分，形式为 ∫ ζ(u(x), x, ∇u(x)) · [D²u(x)]_i dx，其中 ζ 是 ℝ × ℝⁿ × ℝⁿ 上的连续函数。
• 要求 ζ 满足适当的连续性和增长条件，以确保积分定义良好。
• 证明在这些条件下，泛函在凸函数空间上是连续的。
• 通过展示在 x ↦ x + a 的变换下泛函形式保持不变，证明其在平移下的不变性。
• 通过验证在定义域的正交变换下表达式保持不变，建立其在旋转下的不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用函数的 Hessian 矩阵来构造凸函数上的泛函？
• RQ2 函数 ζ 需要满足何种条件，才能保证所得到泛函的连续性和不变性？
• RQ3 此类泛函能否在 ℝⁿ 中同时对平移和旋转保持不变？
• RQ4 Hessian 矩阵特征值的第 i 个初等对称函数在定义这些泛函中起什么作用？
• RQ5 这些泛函如何扩展到更广泛的凸函数和强制函数类？

主要发现

• 当 ζ 满足适当的连续性和增长条件时，所提出的泛函在 ℝⁿ 上的凸函数空间中是良好定义且连续的。
• 这些泛函在平移下保持不变，即当函数在空间中平移时其值保持不变。
• 这些泛函在旋转下保持不变，即在定义域的正交变换下其值保持不变。
• 该构造依赖于 Hessian 矩阵特征值的第 i 个初等对称函数，这推广了曲率型积分。
• 该框架通过基于 Hessian 的泛函，将泛函理论扩展到了凸函数。
• 结果对凸函数和强制函数成立，确保积分收敛，且泛函在极限下保持稳定。