[论文解读] Heuristics for $p$-class towers of imaginary quadratic fields, with an Appendix by Jonathan Blackhurst

Nigel Boston, Michael R. Bush+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文将Cohen-Lenstra heuristics扩展至虚二次域的非交换$p$-类塔，通过为伽罗瓦群$G_K = \mathrm{Gal}(K_\infty/K)$（即$p$-类塔群）提出一个启发式分布。该理论预测：每个有限的Schur$\sigma$-群作为$G_K$在无穷多个虚二次域$K$中出现，其概率按自同构群大小的倒数加权，将经典交换情形推广至非交换$p$-群。

ABSTRACT

Cohen and Lenstra have given a heuristic which, for a fixed odd prime $p$, leads to many interesting predictions about the distribution of $p$-class groups of imaginary quadratic fields. We extend the Cohen-Lenstra heuristic to a non-abelian setting by considering, for each imaginary quadratic field $K$, the Galois group of the $p$-class tower of $K$, i.e. $G_K:=\mathrm{Gal}(K_\infty/K)$ where $K_\infty$ is the maximal unramified $p$-extension of $K$. By class field theory, the maximal abelian quotient of $G_K$ is isomorphic to the $p$-class group of $K$. For integers $c\geq 1$, we give a heuristic of Cohen-Lentra type for the maximal $p$-class $c$ quotient of $\G_K$ and thereby give a conjectural formula for how frequently a given $p$-group of $p$-class $c$ occurs in this manner. In particular, we predict that every finite Schur $σ$-group occurs as $G_K$ for infinitely many fields $K$. We present numerical data in support of these conjectures.

研究动机与目标

• 将Cohen-Lenstra heuristics从交换$p$-类群推广至虚二次域的非交换$p$-类塔群。
• 基于自同构群大小的倒数，为有限$p$-群作为$p$-类塔群的出现定义启发式概率测度。
• 预测每个有限的Schur$\sigma$-群作为$p$-类塔群$G_K$在无穷多个虚二次域$K$中出现，从而将经典Cohen-Lenstra猜想推广至非交换$p$-群。
• 提供数值证据，支持所提出的$p$-类塔群的启发式分布，针对$p$-类$c$的群。

提出的方法

• 将Cohen-Lenstra哲学适配至$p$-类$c$的有限$p$-群范畴，赋予权重与$1/|\mathrm{Aut}(G)|$成正比。
• 将$p$-群$G$的出现频率定义为：在按判别式排序的域中，满足$G_K \cong G$的域所占比例的极限。
• 利用类域论识别$G_K^{\mathrm{ab}} \cong A_K$，即$K$的$p$-类群，并将其推广至$p$-类塔的更高层级。
• 为$G_K$的最大$p$-类$c$商群构建启发式，通过自同构群倒数加权建模其分布。
• 利用$p$-群理论、茎扩张与核理论，分析何时一个群可实现为$p$-类塔群。
• 使用$p$-覆盖群构造与中心扩张，分析Schur上同调群与核，将其与作为$G_K$的可实现性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于固定的奇素数$p$，在有限$p$-群上存在何种自然概率分布，可建模虚二次域$K$的$p$-类塔群$G_K$的分布？
• RQ2 哪些有限$p$-群可作为某个虚二次域$K$的$G_K = \mathrm{Gal}(K_\infty/K)$出现？
• RQ3 每个有限的Schur$\sigma$-群是否在无穷多个虚二次域$K$中作为$G_K$出现？
• RQ4 $1/|\mathrm{Aut}(G)|$这一自同构群大小的倒数在预测$G_K \cong G$的频率时，为何是自然的权重？
• RQ5 对$p$-群$G$施加何种条件，可确保其可实现为某个虚二次域的$p$-类塔群？

主要发现

• 本文为虚二次域的$p$-类塔群$G_K$提出了一个启发式分布，权重与$1/|\mathrm{Aut}(G)|$成正比，将经典Cohen-Lenstra heuristics推广至非交换情形。
• 预测每个有限的Schur$\sigma$-群在无穷多个虚二次域$K$中作为$G_K$出现，将经典猜想推广至非交换$p$-群。
• 当且仅当$G$存在非平凡的茎扩张时，$p$-群$G$的核非平凡，这意味着$G$的Schur上同调群非平凡。
• $p$-覆盖群构造被用于证明：若$G$的核非平凡，则其存在非平凡的茎扩张，从而确认了Schur上同调群条件。
• 提供了数值数据以支持所提出的分布，显示与预测的$p$-类塔群频率高度一致。
• 本文建立了$p$-群的核与其作为$p$-类塔群可实现性之间的结构联系，通过存在导出子等于核的中心扩张来实现。